Question

【題目】如圖，點P在直線y=x-1上，設過點P的直線交拋物線y=x2于A(a，a2)，B(b，b2)兩點，當滿足PA=PB時，稱點P為“優點”.

(1)當a+b=0時，求“優點”P的橫坐標；

(2)若“優點”P的橫坐標為3，求式子18a-9b的值；

(3)小安演算發現：直線y=x-1上的所有點都是“優點”，請判斷小安發現是否正確？如果正確，說明理由；如果不正確，舉出反例.

Answer 1

【答案】(1)點橫坐標為；(2)27；(3)正確，理由見解析.

【解析】

（1）先判斷點A與點B關于y軸對稱得到PA∥x軸，所以P點的縱坐標為a2，P點的橫坐標為a2+1，則利用PA=AB得到a2+1-a=a-（-a），然后求出a得到優點”P的橫坐標；
（2）由于A點為PB的中點，根據線段的中點坐標公式得到a=，即2a-b=3，然后利用整體代入的方法計算代數式的值；

（3）設P（x，x-1），利用A點為PB的中點得到a=，a2=，消去a得到方程x2+2（b-1）x+1-b2=0，然后通過證明此方程一定有解判斷直線y=x-1上的所有點都是“優點”．

(1)∵，

∴點、關于對稱，

∴軸，

∵，

∴點的橫坐標為，

∴點的坐標為，點的坐標為，

∵軸，

∴，解得，

∴點橫坐標為；

(2)∵點在直線上，

∴點坐標為，

∵，

∴，

∴，

∴；

(3)設點坐標為，結合點的坐標，

當時，分析出點的坐標為，

把點坐標代入拋物線解析式中，

，

整理，得，

∵，

∴對于任意，總有x使得PA=AB，

∴直線上的點均為優點.