Question

如圖，二次函數y=a x²+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交于A，B，與y軸交于點C，A、C的坐標分別是（1，0）和（0，2），B在A的右側，且∠OCA=∠OBC．
（1）求證：△AOC∽△COB；
（2）求這個二次函數的解析式及頂點坐標．

Answer 1

分析：（1）利用兩個角相等的三角形相似，直接進行判定即可；
（2）利用（1）的結論求得點B坐標，代入三點坐標即可求出函數解析式，再據函數解析式求得頂點坐標．

解答：（1）證明：∵∠OCA=∠OBC，
∠COA=∠BOC=90°，
∴△AOC∽△COB；

（2）解：∵△AOC∽△COB，
∴

OA

OC

=

OC

OB

，
即

1

2

=

2

OB

，
解得OB=4，
即點B的坐標為（4，0），
把點A、B、C三點代入函數解析式得，

c=2 4a+2b+c=0 16a+4b+c=0

，
解得

a= 1 2 b=- 5 2 c=2

，
所以函數解析式為：y=

1

2

x2-

5

2

x+2，
因此頂點坐標為：（

5

2

，-

9

8

）．

點評：此題考查相似三角形的判定與性質，待定系數法求函數解析式以及求頂點坐標的方法．