Question

已知二次函數y=x²+bx+c與x軸交于A（-1，0）、B（1，0）兩點．
（1）求這個二次函數的關系式；
（2）若有一半徑為r的⊙P，且圓心P在拋物線上運動，當⊙P與兩坐標軸都相切時，求半徑r的值．
（3）半徑為1的⊙P在拋物線上，當點P的縱坐標在什么范圍內取值時，⊙P與y軸相離、相交？

Answer 1

分析：（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x²+bx+c得到一個關于b、c的方程組，求出方程組的解即可得出二次函數的關系式；
（2）設點P坐標為（x，y），則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有y=±x，把y=±x分別代入由（1）求出的二次函數的關系式，求出x的值，即可得到半徑r的值；
（3）設點P坐標為（x，y），先求出⊙P與y軸相切時x=±1，再根據圓與直線的位置關系的性質（r＜d時相離，r＞d相交）判斷即可．

解答：解：（1）把A（-1，0）、B（1，0）代入y=x²+bx+c得：

1-b+c=0 1+b+c=0.

解得

b=0 c=-1.

∴二次函數的關系式是y=x²-1，
答：這個二次函數的關系式是y=x²-1．

（2）設點P坐標為（x，y），則當⊙P與兩坐標軸都相切時，有y=±x．
由y=x，得x²-1=x，
即x²-x-1=0，
解得x=

1± 5

2

．
由y=-x，得x²-1=-x，
即x²+x-1=0，
解得x=

-1± 5

2

．
∴⊙P的半徑為r=|x|=

5 ±1

2

，
答：半徑r的值是為

5 ±1

2

．

（3）設點P坐標為（x，y），
∵⊙P的半徑為1，
∴當y=0時，x²-1=0，
解得：x=±1，
即⊙P與y軸相切，
又當x=0時，y=-1，
∴當y＞0或y＜-1時，⊙P與y相離；
當-1≤y＜0時，⊙P與y相交，
答：半徑為1的⊙P在拋物線上，當點P的縱坐標在y＞0或y＜-1范圍內取值時，⊙P與y軸相離；在-1≤y＜0范圍內取值時，⊙P與y軸相交．

點評：本題主要考查對用待定系數法求二次函數的解析式，解一元二次方程，解二元一次方程組，直線與圓的位置關系等知識點的理解和掌握，綜合運用這些性質進行計算是解此題的關鍵，題型較好，難度適中．