Question

（2012•咸豐縣二模）如圖在Rt△ABC中，∠C=90°，點O在AB上，以O為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB，分別交于點D、E，且∠CBD=∠A；
（1）判斷直線BD與⊙O的位置關系，并證明你的結論；
（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的長．

Answer 1

分析：（1）結論：BD是圓的切線，已知此線過圓O上點D，連接圓心O和點D（即為半徑），再證垂直即可；
（2）通過作輔助線，根據已知條件求出∠CBD的度數，在Rt△BCD中求解即可．

解答：解：（1）直線BD與⊙O相切．（1分）
證明：如圖，連接OD．
∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直線BD與⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如圖，連接DE．
∵AE是⊙O的直徑，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AD：AE=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
 cos∠CBD=BC：BD=3：5（4分）
∵BC=2，BD=

10

3

；
解法二：如圖，過點O作OH⊥AD于點H．
∴AH=DH=

1

2

AD
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AH：AO=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，
∵BC=2，
∴BD=

10

3

．

點評：本題考查了直線和圓的位置關系、直角三角形的性質以及相似三角形的判定和性質．