Question

【題目】如圖，在ABCD中，AD＞AB，AM、BN、CP、DQ為四個內角的角平分線，P、為AD邊上兩點，其中AM與DQ相交于E，BN與CP相交于F，AM與BN相交于G，CP與DQ相交于H．

（1）求證：四邊形EHFG是矩形．

（2）ABCD滿足　 時，四邊形EHFG為正方形；ABCD滿足　 時，F點落在AD邊上．（與點P、點N重合）

（3）探究矩形EHFG的對角線長度與ABCD的邊長之間的數量關系，并證明．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）∠BAD＝90°，且BC＝2AB ；BC＝2AB；（3）GH＝BC﹣AB；證明見解析.

【解析】

（1）根據平行線的性質及角平分線的定義證明四邊形EHFG有三個角是直角即可；

（2）由（1）可得，四邊形EHFG是矩形，若四邊形EHFG為正方形，則有一組臨邊相等即可；若F點落在AD邊上．（與點P、點N重合），則可得由（1）得：AF＝AB，DF＝CD，AG⊥BN，利用平行四邊形的性質等量代換即可得到AB與BC的關系.

（3）連接EF、GH，由（1）（2）結論證四邊形BQDN是平行四邊形，四邊形GHQB是平行四邊形，即可得到其數量關系.

（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC＝180°．

∵AM，BN分別平分∠DAB，∠ABC，

∴∠MAB+∠NBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．

∴∠EGF＝∠AGB＝90°，

同理：∠EHF＝90°，∠GEH＝90°，

∴四邊形EHFG是矩形；

（2）ABCD滿足∠BAD＝90°，且BC＝2AB時，四邊形EHFG為正方形；理由如下：

此時F點落在AD邊上，與點P、點N重合，如圖1所示：

由（1）得：四邊形EHFG是矩形，AG⊥BN，

∵AD∥BC，

∴∠AFB＝∠CBF，

∵BF平分∠ABC，

∴∠ABF＝∠CBF，

∴∠AFB＝∠ABF，

∴AF＝AB，

同理：DF＝CD，

∴AF＝AB＝BE，

∵∠BAD＝90°，

∴△BAF、△ABE是等腰直角三角形，

∵AE⊥BF，

∴BG＝FG，AG＝EG，

∴AG＝BF＝BG＝FG，

∴FG＝EG，

∴四邊形EHFG為正方形，

故答案為：∠BAD＝90°，且BC＝2AB；

ABCD滿足BC＝2AB時，F點落在AD邊上．（與點P、點N重合）；理由如下：

如圖2所示：

由（1）得：AF＝AB，DF＝CD，AG⊥BN，

∴AF＝DF＝AB，

∴AD＝2AB，

∴BC＝2AB，

故答案為：BC＝2AB；

（3）矩形EHFG的對角線長度與ABCD的邊長之間的數量關系為GH＝BC﹣AB；理由如下：如圖3所示：連接EF、GH

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AB＝CD，AD＝BC，

∵四邊形EHFG是矩形，

∴GH＝EF，BN∥DQ，

∴四邊形BQDN是平行四邊形，

∴BN＝DQ，

同（1）（2）得：AG⊥BN，AN＝AB，CQ＝CD＝AB，

∴BG＝NG，

同理：DH＝QH，

∴BG＝QH，

∴四邊形GHQB是平行四邊形，

∴GH＝BQ＝BC﹣CQ＝BC﹣AB．