Question

如圖，已知點P在x軸上，⊙P與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，若B點坐標為（1，0），點C坐標為（0，-2）．
（1）求經過A、B、C三點的拋物線解析式；
（2）在所給的坐標系中畫出拋物線的草圖；
（3）觀察圖象，當x滿足條件______時，y＜0．

Answer 1

解：（1）連接AC、BC．
∵AB是⊙P的直徑，
∴∠ACB=90°
在Rt△ACB中，OC⊥AB，由射影定理得：
OC²=OA•OB，即OA=OC²÷OB=4，
∴A（-4，0）．
設拋物線的解析式為：y=a（x+4）（x-1），依題意有：
a（0+4）（0-1）=-2，
解得a=．
∴拋物線的解析式為：y=（x+4）（x-1）=x²+x-4；

（2）如右圖；

（3）由圖知：在A、B之間的拋物線圖象都在x軸下方，已知A（-4，0），B（1，0），
故當-4＜x＜1時，y＜0．
分析：（1）連接AC、BC，由圓周角定理知∠ACB=90°，在Rt△ACB中，CO⊥AB，利用射影定理即可求得OA的長，從而得到點A的坐標，然后利用待定系數法即可求得該拋物線的解析式；
（2）通過描點、連線畫出（1）題所得拋物線的函數圖象即可；
（3）由圖可知，拋物線的開口向上，在A-B之間拋物線的圖象在x軸下方，可據此求出y＜0時，自變量的取值范圍．
點評：此題主要考查了圓周角定理、二次函數解析式的確定以及圖象的畫法，要求學生能夠根據函數圖象來判斷不同的自變量取值范圍內函數值的變化情況，屬于基礎題，需要熟練掌握．