Question

△ABC的外接⊙O的半徑為R，高為AD，∠BAC的平分線交⊙O于E，EF切⊙O交AC的延長線于F．結論：①AC•AB=2R•AD；②EF∥BC；③CF•AC=EF•CM；④，其中正確（ ）

A．①②③④
B．①②③
C．②③
D．①②④

Answer 1

【答案】分析：（1）過A作直徑AN，利用直角△ACN∽直角△ADB，可得①；
（2）連接OE，由角平分線可得弧相等，即E為BC弧的中點，則OE與BC垂直，而EF是切線即EF⊥BC，得②；（3）連CE，證明△FCE∽△CMA，可得③；
（4）先把正弦化成線段的比，得到，而這是角平分線定理，所以得④．
解答：解：（1）過A作直徑AN，連CN．則∠ACN=90°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
又∵∠ANC=∠B，
∴直角△ACN∽直角△ADB，而AN=2R，
∴AC•AB=2R•AD；
（2）連接OE，
∵∠BAC的平分線交⊙O于E，
∴=，
∴OE⊥BC，
又∵FE是⊙O的切線，
∴FE⊥OE，
∴EF∥BC；
（3）連CE，
∵EF∥BC，
∴∠1=∠F，∠FEC=∠ECM，
又∵∠ECM=∠EAB=∠CAM，
∴△FCE∽△CMA，
∴CF•AC=EF•CM；
（4）在直角三角形ADB中，sinB=，
在直角三角形ADC中，sin∠ACD=，而EF∥BC，∠ACD=∠F，即sinF=，
∴=，
而AM為角平分線，所以=，
∴=；
因此A對，B，C，D都錯．故選A．
點評：掌握使用三角形相似證明等積式或比例式．熟悉圓周角定理，角平分線定理，三角函數的定義以及切線的性質等．