Question

（2007•牡丹江）如圖，已知平行四邊形ABCD中，E是AB邊的中點，DE交AC于點F，AC、DE把它分成的四部分的面積分別為S₁S₂S₃S₄，下面結論：
①只有一對相似三角形
②EF：ED=1：2
③S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：5
其中正確的結論是（ ）

A．①③
B．③
C．①
D．①②

Answer 1

【答案】分析：可知四邊形ABCD是平行四邊形，則AB∥CD，得到△AEF∽△CDF，且三角形的相似比是1：2，因而EF：FD=1：2，則EF：ED=1：3；且△ABC∽△CDA，S₁：S₃=1：4，且△AEF與△AED同底，高的比是1：3，則S₂=2S₁，同理S₄=5S₁∴S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：5．
解答：解：①有兩對相似三角形：
△AEF∽△CDF，△ABC∽△CDA，故該選項錯誤；
②∵AB∥CD，
∴AE：CD=EF：FD=1：2，故該選項錯誤；
③∵AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
S₁：S₃=1：4，
又∵△AEF與△AED同底，高的比是1：3，
∴S₂=2S₁
同理S₄=5S₁
∴S₁：S₂：S₃：S₄=1：2：4：5，
故該選項正確．故選B．
點評：本題運用了相似三角形的判定方法，及三角形相似的性質，面積的比等于相似比的平方．