Question

如圖，在?ABCD中，BE⊥AD于點E，BF⊥CD于點F，AC與BE、BF分別交于點G、H．
（1）求證：△BAE∽△BCF；
（2）若BG=BH，求證：四邊形ABCD是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）先利用已知里的兩個垂直，可證一對角相等，都等于90°，再利用平行四邊形的性質，對角相等，那么可證△BAE∽△BCF；（2）由BG=BH，可得∠3=∠4，那么∠AGE=∠CHF，利用等量減等量差相等，可證∠DAC=∠DCA，等角對等邊，那么AD=DC，那么?是菱形．
解答：證明：
（1）∵BE⊥AD，BF⊥CD，
∴∠BEA=∠BFC=90°．（1分）
又ABCD是平行四邊形，
∴∠BAE=∠BCF．（2分）
∴△BAE∽△BCF．（3分）

（2）∵△BAE∽△BCF，
∴∠1=∠2．（4分）
又BG=BH，
∴∠3=∠4．
∴∠BGA=∠BHC，BG=BH．（5分）
∴△BGA≌△BHC（ASA）．（6分）
∴AB=BC．（7分）
∴?ABCD為菱形．（8分）
點評：本題利用了平行四邊形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、菱形的判定等知識．