Question

如圖，點A是反比例函數y1=

k

x

的圖象與一次函數y2=x+

k

2

的圖象的一個交點，AC垂直x軸于點C，且三角形OAC的面積為1．
（1）求這兩個函數圖象的另一個交點B的坐標；
（2）利用圖象判斷，當x為何值時，y₁＞y₂？
（3）求△AOB的面積S（點O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（1）由三角形AOC的面積，利用反比例函數k的幾何意義求出k的值，確定出反比例與一次函數解析式，將兩解析式聯立組成方程組，即可得出B的坐標；
（2）由A與B的橫坐標及0，將x軸分為四個范圍，找出反比例函數圖象在一次函數圖象上方時x的范圍即可；
（3）對于一次函數，令y=0求出x的值，確定出E的坐標，進而得到OE的長，三角形AOB的面積=三角形AOE的面積+三角形BOE的面積，求出即可．

解答：解：（1）由三角形AOC面積為1，得到

1

2

|k|=1，
又反比例函數圖象位于第一、三象限，
∴k=2，
∴y₁=

2

x

，y₂=x+1，
將兩函數解析式聯立得：

y= 2 x y=x+1

，
解得：

x=1 y=2

或

x=-2 y=1

，
則A（1，2），B（-2，-1）；
（2）由圖象可得：當0＜x＜1或x＞-2時，y₁＞y₂；
（3）對于一次函數y₂=x+1，令y₂=0，得到x=-1，
∴E（-1，0），即OE=1，
則S_△AOB=S_△AOE+S_△BPE=

1

2

OE•y_A縱坐標+

1

2

OEy_B縱坐標=1+

1

2

=

3

2

．

點評：此題考查了一次函數與反比例函數的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，反比例函數k的幾何意義，利用了數形結合的思想，數形結合思想是數學中重要的思想方法，做題時注意靈活運用．