Question

 已知拋物線y=﹣x²+bx+c的對稱軸為直線x=1,最小值為3，此拋物線與y軸交于點A，頂點為B，對稱軸BC與x軸交于點C．

1.（1）求拋物線的解析式.

2.（2）如圖1．求點A的坐標及線段OC的長；

3.（3）點P在拋物線上，直線PQ∥BC交x軸于點Q，連接BQ．

①若含45°角的直角三角板如圖2所示放置．其中，一個頂點與點C重合，直角頂點D在BQ上，另一 個頂點E在PQ上．求直線BQ的函數解析式；

②若含30°角的直角三角板一個頂點與點C重合，直角頂點D在直線BQ上，另一個頂點E在PQ上，求點P的坐標．

 

Answer 1

 

1.解：（1）∵拋物線y=﹣x²+bx+c的對稱軸為直線x=1

∴2b=1,∴b=

又∵拋物線最小值為3

∴3=-，∴c=

∴拋物線解析式為：

2.2）把x=0代入拋物線得：y=，

∴點A（0，）．--------------------------------------3分

∵拋物線的對稱軸為x=1，

∴OC=1．

3.（3）①如圖：∵此拋物線與y軸交于點A，頂點為B

∴B（1，3）

分別過點D作DM⊥x軸于M，DN⊥PQ于點N，

∵PQ∥BC，∴∠DMQ=∠DNQ=∠MQN=90°，

∴DMQN是矩形．

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴DC=DE，∠CDM=∠EDN

∴△CDM≌△EDN

∴DM=DN，

∴DMQN是正方形，

∴∠BQC=45°

∴CQ=CB=3

∴Q（4，0）

設BQ的解析式為：y=kx+b，

把B（1，3），Q（4，0）代入解析式得：k=﹣1，b=4．

所以直線BQ的解析式為：y=﹣x+4．-------------------------------6分

②所求的點P的坐標為：P₁（1+，），P₂（1+3，﹣），P₃（1﹣，），

P₄（1﹣3，﹣）．

解析:略