Question

（2012•長春一模）如圖，在平面直角坐標系中，△OAB的頂點O與坐標原點重合，點A在x軸的正半軸上，點B在第一象限，且OB=8，AB=6，∠B=90°．點P從原點出發，以每秒5個單位的速度沿線段OB向點B運動，到達B點運動停止．過點P且平行于x軸的直線交線段AB于點Q，以PQ為邊向下作正方形PMNQ．設正方形PMNQ與△OAB重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位），點P的運動時間t（秒）．
（1）求點A的坐標．
（2）求S與t之間的函數關系式．
（3）求（2）中S有最大值時的t值．
（4）點P運動過程中，在x軸上存在點C，使得△PCQ為等腰直角三角形，請直接寫出所有符合條件的點C的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據OB=8，AB=6，∠B=90°，再根據勾股定理求出OA的長，從而求出點A的坐標；
（2））根據PQ∥OA，得出

BP

BO

=

BQ

BA

，求出BQ=

24-15t

4

，再根據∠B=∠PDO，∠BPQ=∠POD，證出△OPD≌△PQB，得出

OP

PQ

=

PD

BQ

，即可求出S與t之間的函數關系式；
（3）根據二次函數最大值的求法計算即可；
（4）根據PQ∥OA，得出PD=CD=CE=QE，根據△OPD∽△OAB，得出

OP

OA

=

OD

OB

=

PD

AB

，進一步得出QE=PD=CD=CE=3t，再根據△AQE∽△AOB，得出

AE

AB

=

QE

OB

，AE=

9

4

t，4t+3t+3t+

9

4

t=10，求出t的值即可．

解答：解：（1）∵OB=8，AB=6，∠B=90°，
∴OA=

OB2+AB2

=

82+62

=10，
∴點A的坐標是（10，0）

（2）∵PQ∥OA，
∴

BP

BO

=

BQ

BA

，
∴

8-5t

8

=

BQ

6

，
∴BQ=

24-15t

4

，
在△OPD和△PQB中，
∵∠B=∠PDO，∠BPQ=∠POD，
∴△OPD≌△PQB，
∴

OP

PQ

=

PD

BQ

，
∴S=PD•PQ=OP•BQ=5t•

24-15t

4

=30t-

75

4

t²；

（3）S有最大值時，t=-

30

2×(- 75 4 )

=

4

5

；
（4）∵PQ∥OA，
∴∠PCD=∠CPQ=45°，∠QCE=∠PQC=45°，
∴PD=CD，QE=CE，
∵PD=QE，
∴PD=CD=CE=QE，
∵△OPD∽△OAB，
∴

OP

OA

=

OD

OB

=

PD

AB

，
∴

5t

10

=

OD

8

=

PD

6

，
∴OD=4t，PD=3t，
∴QE=PD=CD=CE=3t，
∵△AQE∽△AOB，
∴

AE

AB

=

QE

OB

，
∴

AE

6

=

3t

8

，
∴AE=

9

4

t，
∴OA=OD+CD+CE+AE=4t+3t+3t+

9

4

t=10，

49

4

t=10，
t=

40

49

．

點評：此題考查了相似形的綜合，用到的知識點是勾股定理、相似三角形的判定與性質、二次函數的最值，關鍵是綜合運用相關知識列出方程和算式．