Question

（2012•金牛區二模）閱讀材料：C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．設CD=x，若AB=4，DE=2，BD=8，則可用含x的代數式表示AC+CE的長為

16+(8-x)2

+

4+x2

．然后利用幾何知識可知：當x=

8

3

時，AC+CE的最小值為10．根據以上閱讀材料，可構圖求出代數式

25+(12-x)2

+

9+x2

的最小值為

4

13

．

Answer 1

分析：根據已知圖象，重新構造直角三角形，利用三角形相似得出CD的長，進而利用勾股定理得出最短路徑問題．

解答：解：如圖所示：C為線段BD上一動點，分別過點B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC．設CD=x，
若AB=5，DE=3，BD=12，
當A，C，E，在一條直線上，AE最短，
∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴AB∥DE，
∴△ABC∽EDC，
∴

AB

DE

=

BC

CD

，
∴

5

3

=

12-CD

CD

，
解得：DC=

9

2

．
即當x=

9

2

時，代數式

25+(12-x)2

+

9+x2

的最小值，
此時為：

25+(12- 9 2 ) 2

+

9+ ( 9 2 ) 2

=

5 13

2

+

3 13

2

=4

13

．
故答案為：4

13

．

點評：此題主要考查了求最短路線問題，利用了數形結合的思想，求形如的式子

25+(12-x)2

+

9+x2

的最小值，可通過構造直角三角形，利用勾股定理求解．