Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF（點E，F分別在邊AC，BC上），給出以下判斷：①當CD⊥AB時，EF為△ABC的中位線；②當四邊形CEDF為矩形時，AC＝BC；③當點D為AB的中點時，△CEF與△ABC相似；④當△CEF與△ABC相似時，點D為AB的中點．其中正確的是_____（把所有正確的結論的序號都填在橫線上）．

Answer 1

【答案】①③

【解析】

①如圖1，根據折疊的性質得到CE=DE，根據直角三角形的性質即可得到結論；
②根據矩形的性質得到CE=DE，折疊四邊形CEDF是正方形，根據任意一個直角三角形都有一個內接正方形即可得到結論；
③如圖2，連接CD，與EF交于點Q，根據直角三角形的性質得到CD=DB=AB，于是得到∠DCB=∠B，由軸對稱的性質得到∠CQF=∠DQF=90°，推出∠DCB+∠CFE=90°，由于∠B+∠A=90°，于是得到∠CFE=∠A，即可得到結論；
④分兩種情況討論：當△CEF∽△CBA時，由相似三角形的性質得到∠EFD=∠CAB，∠EDF=∠ECF=90°，推出C，E，D，F四點共圓，根據圓周角定理得到∠ACD=∠EFD，等量代換得到∠ACD=∠A，根據等腰三角形的性質得到AD=CD，同理CD=BD，即可得到結論；當△CEF∽△CAB時，點D不一定是AB的中點，取決于AC與AB的關系．

①如圖1，

∵翻折∠C，使點C落在斜邊AB上某一點D處，折痕為EF，

∴CE＝DE，

∴∠ECD=∠EDC

∵CD⊥AB，

∴∠ECD+∠A=∠EDC+∠EDA=90°

∴∠EDA=∠A

∴DE＝AE，

∴AE＝CE，同理CF＝BF，

∴EF為△ABC的中位線；故①正確；

②∵CE＝DE，四邊形CEDF為矩形

∴折疊四邊形CEDF是正方形，根據任意一個直角三角形都有一個內接正方形，

AC不一定等于BC,故②錯誤；

③當點D是AB的中點時，△CEF與△ABC相似，

理由如下：如圖2，連接CD，與EF交于點Q，

∵CD是Rt△ABC的中線，

∴CD＝DB＝AB，

∴∠DCB＝∠B，

由軸對稱的性質可知，∠CQF＝∠DQF＝90°，

∴∠DCB+∠CFE＝90°，

∵∠B+∠A＝90°，

∴∠CFE＝∠A，

又∵∠C＝∠C，

∴△CEF∽△CBA；故③正確；

④△CEF與△ABC相似，

當△CEF∽△CBA時，

∴∠EFD＝∠CAB，∠EDF＝∠ECF＝90°，

∴C，E，D，F四點共圓，

∴∠ACD＝∠EFD，

∴∠ACD＝∠A，

∴AD＝CD，同理CD＝BD，

∴點D為AB的中點，

當△CEF∽△CAB時，

點D不一定是AB的中點，

故④錯誤．

故答案為：①③．