Question

【題目】在平面直角坐標系中，二次函數的圖象與x軸交于A（－3，0），B（1，0）兩點，與y軸交于點C．

（1）求這個二次函數的關系解析式；

（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點，是否存在點P，使△ACP的面積最大？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；

考生注意：下面的（3）、（4）、（5）題為三選一的選做題，即只能選做其中一個題目，多答時只按作答的首題評分，切記啊！

（3）在平面直角坐標系中，是否存在點Q，使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（4）點Q是直線AC上方的拋物線上一動點，過點Q作QE垂直于x軸，垂足為E．是否存在點Q，使以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由；

（5）點M為拋物線上一動點，在x軸上是否存在點Q，使以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，直接寫出點Q的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在點Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.Q點坐標為：Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1)；（4）存在，Q點坐標為(2,2)或；（5）存在點Q,使以A. C.M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.Q點坐標為：.

【解析】

（1）將點A、B的坐標代入即可求得a、b，從而得到二次函數的關系解析式．

（2）設點P坐標為（m，n），則．連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N，根據求出S關于m的二次函數，根據二次函數最值求法即可求解．

（3）如圖（3）所示，以BC為邊，在線段BC兩側分別作正方形，正方形的其他四個頂點均可以使得“△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形”，因此有四個點符合題意要求；

（4）如圖（4）所示，若以點B、Q、E為頂點的三角形與△AOC相似，有兩種情況，需要分類討論，不要漏解；

（5）以A、C、M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，有四種情況，分別如圖（5）a、圖（5）b所示，注意不要漏解．

解：（1）由拋物線過A（－3，0），B（1，0），則

，解得．

∴二次函數的關系解析式為．

（2）設點P坐標為（m，n），則．

連接PO，作PM⊥x軸于M，PN⊥y軸于N．

PM =，，AO=3．

當時，，所以OC=2．

∵＜0，∴函數有最大值，當時，有最大值．

此時．

∴存在點，使△ACP的面積最大．

(3)如圖(3)所示,以BC為邊在兩側作正方形BCQ1Q2、正方形BCQ4Q3,則點Q1,Q2,Q3,Q4為符合題意要求的點.

過Q1點作Q1D⊥y軸于點D，

∵∠BCQ1=90°，

∴∠Q1CD+∠OCB=90°，

又∵在直角△OBC中,∠OCB+∠CBO=90°，

∴∠Q1CD=∠OCB，

又∵Q1C=BC,∠Q1DC=∠BOC，

∴△Q1CD≌△CBO，

∴Q1D=OC=2,CD=OB=1,∴OD=OC+CD=3,∴Q1(2,3)；

同理求得Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).

∴存在點Q,使△BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形.Q點坐標為：Q1(2,3),Q2(3,1),Q3(1,1),Q4(2,1).

(4)如圖(4)所示,設E(n,0),則BE=1n, .

假設以點B.Q、E為頂點的三角形與△AOC相似，則有兩種情況：

①若△AOC∽△BEQ,則有：，

即,化簡得：n2+n2=0，

解得n1=2,n2=1(與B重合,舍去),

∴n=2, .

∴Q(2,2)；

②若△AOC∽△BQE,則有：，

即,化簡得：4n2n3=0，

解得 (與B重合,舍去),

∴.

綜上所述，存在點Q，使以點B.Q、E為頂點的三角形與△AOC相似.

Q點坐標為(2,2)或.

(5)假設存在點Q，使以A. C.M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.

①若CM平行于x軸,如圖(5)a所示,有符合要求的兩個點Q1,Q2,此時Q1A=Q2A=CM.

∵CM∥x軸,∴點M、點C(0,2)關于對稱軸x=1對稱，

∴M(2,2),

∴CM=2.

由Q1A=Q2A=CM=2,得到Q1(5,0),Q2(1,0)；

②若CM不平行于x軸,如圖(5)b所示.過點M作MG⊥x軸于G，

易證△MGQ≌△COA,得QG=OA=3,MG=OC=2,即yM=2.

設M(x,2),則有，

解得

又QG=3,

∴，

綜上所述,存在點Q,使以A. C.M、Q為頂點的四邊形是平行四邊形.Q點坐標為：.