Question

如圖，四邊形ABCD、CDEF、EFGH都是正方形．
（1）△ACF與△GCA相似嗎？說說你的理由；
（2）求∠1+∠2的度數．

Answer 1

分析：（1）設正方形的邊長為a，求出AC的長為

2

a，再求出△ACF與△GCA中夾∠ACF的兩邊的比值相等，根據兩邊對應成比例、夾角相等，兩三角形相似，即可判定△ACF與△GCA相似；
（2）根據相似三角形的對應角相等可得∠1=∠CAF，再根據三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和，∠2+∠CAF=∠ACB=45°，所以∠1+∠2=45°．

解答：解：（1）相似．
理由：設正方形的邊長為a，
AC=

a2+a2

=

2

a，
∵

AC

CF

=

2 a

a

=

2

，

CG

AC

=

2a

2 a

=

2

，
∴

AC

CF

=

CG

AC

，
∵∠ACF=∠ACF，
∴△ACF∽△GCA；

（2）∵△ACF∽△GCA，
∴∠1=∠CAF，
∵∠CAF+∠2=45°，
∴∠1+∠2=45°．

點評：本題主要利用兩邊對應成比例，夾角相等兩三角形相似的判定和相似三角形對應角相等的性質以及三角形的外角性質，求出兩三角形的對應邊的比值相等是解本題的關鍵．