Question

已知，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BC=，點D、E在BC邊上（均不與點B、C重合，點D始終在點E左側），且∠DAE=45°．
（1）請在圖①中找出兩對相似但不全等的三角形，寫在橫線上______，______；
（2）設BE=m，CD=n，求m與n的函數關系式，并寫出自變量n的取值范圍；
（3）如圖②，當BE=CD時，求DE的長；
（4）求證：無論BE與CD是否相等，都有DE²=BD²+CE²．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據兩角對應相等，兩三角形相似的判定方法就可以從圖中找到兩個相似的三角形．
（2））由∠BAC=90°，AB=AC，BC=可以得出△BAE∽△CDA，利用相似三角形的性質就可以求出函數關系式．
（3）由（2）知BE•CD=4，可以求出BE=CD的值，求出BD的值后就可以求出DE的值．
（4）如圖，依題意，可以將△AEC繞點A順時針旋轉90°至△AFB的位置，則FB=CE，AF=AE，∠1=∠2，由條件可以求出△AFD≌△AED，由勾股定理可以得出結論．
解答：解：（1）∵∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°，
∵∠DAE=45°，
∴△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA．
故答案為：△ADE∽△BAE，△ADE∽△CDA．

（2）∵∠BAC=90°，AB=AC，BC=，
由（1）知△BAE∽△CDA，
∴．
∴．
∴（）．
要保證∠DAE=45°且不與點B、C重合，
∴CD＜2，D點不能位于BC中點及右側，
∴CD＞
∴（）．
（3）由（2）知BE•CD=4，
∴BE=CD=2．
∴BD=BC-CD=．
∴DE=BE-BD=．

（4）如圖，依題意，可以將△AEC繞點A順時針旋轉90°至△AFB的位置，
則FB=CE，AF=AE，∠1=∠2，
∴∠FBD=90°．
∴DF²=BD²+FB²=BD²+CE²．
∵∠3+∠1=∠3+∠2=45°，
∴∠FAD=∠DAE．
又∵AD=AD，AF=AE，
∴△AFD≌△AED．
∴DE=DF．
∴DE²=BD²+CE²．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理的運用及旋轉的性質．