Question

以平面上一點O為直角頂點，分別畫出兩個直角三角形，記作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．
（1）點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，連接FM、EM．
①如圖1，當(dāng)點D、C分別在AO、BO的延長線上時，=______

Answer 1

【答案】分析：（1）①連接EF，由已知條件證明△EMF是直角三角形，并且可求出∠EMF=30°，利用30°角的余弦值即可求出的值；②若△AOB繞點O沿順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜60°），其他條件不變，的值不發(fā)生變化，連接EF、AD、BC，由①的思路證明∠EMF=30°即可；
（2）過O作OE⊥AB于E，由已知條件求出當(dāng)P在點E處時，點P到O點的距離最近為，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=-2；當(dāng)點P在點B處時，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長線時，NP取最大值OB+ON=3+2．
解答：解：（1）①連接EF，
∵點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，
∴EF，F(xiàn)M是分別是△ACD和△DBC的中位線，
∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，
∵∠ABO=∠DCO=30°，
∴∠CDO=60°，
∴∠EFC=60°，∠MFD=30°，
∴∠EFM=90°，
∴△EFM是直角三角形，
∵EM∥CD，
∴∠EMF=∠MFD=30°，
∴cos30°==，
故答案為：；
②結(jié)論：的值不變，
證明：連接EF、AD、BC，
∵Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30°，
∴．
∵Rt△COD中，∠COD=90°，∠DCO=30°，
∴．
∴．
∵∠AOD=90°+∠BOD，∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD=∠BOC．
∴△AOD∽△BOC．  
∴，∠1=∠2．
∵點E、F、M分別是AC、CD、DB的中點，
∴EF∥AD，F(xiàn)M∥CB，且，．
∴，
∠3=∠ADC=∠1+∠6，∠4=∠5．
∵∠2+∠5+∠6=90°，
∴∠1+∠4+∠6=90°，即∠3+∠4=90°．
∴∠EFM=90°．
∵在Rt△EFM中，∠EFM=90°，，
∴∠EMF=30°．
∴；

（2）過O作OE⊥AB于E，
∵BO=3，∠ABO=30°，
∴AO=3，AB=6，
∴AB•OE=OA•OB，
∴OE=，
∴當(dāng)P在點E處時，點P到O點的距離最近為，
這時當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OE與OD重合是，NP取最小值為：OP-ON=-2；

當(dāng)點P在點B處時，且當(dāng)旋轉(zhuǎn)到OB在DO的延長線時，NP取最大值OB+ON=3+2，
∴線段PN長度的最小值為，最大值為．

故答案為；．
點評：此題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的判定和性質(zhì)三角形的中位線的判定和性質(zhì)、梯形的中位線和性質(zhì)以及三角函數(shù)的應(yīng)用．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，注意旋轉(zhuǎn)前后的對應(yīng)關(guān)系．