Question

已知：在△ABC中，AB＝AC＝a，M為底邊BC上任意一點(diǎn)，過(guò)M分別作AB、AC的平行線交AC于P，交AB于Q，如圖

(1)求四邊形AQMP的周長(zhǎng)；

(2)寫(xiě)出圖中的兩對(duì)相似三角形(不需證明)；

(3)M位于BC的什么位置時(shí)，四邊形AQMP為菱形？說(shuō)明你的理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析　(1)已知△ABC是等腰三角形，其腰長(zhǎng)等于a，顯然四邊形AQMP的周長(zhǎng)必與△ABC的腰長(zhǎng)有關(guān)．由已知易得四邊形AQMP是平行四邊形．AQ＝MP是腰長(zhǎng)的一部分，因此要看QM與QB的關(guān)系，容易推出QB＝QM，因而四邊形AQMP的周長(zhǎng)就等于腰長(zhǎng)的2倍． 　　(2)因?yàn)槠叫杏谌�角形一邊的直線截其他兩邊，截得的三角形與原三角形相似，因此△QBM～△ABC，△PMC～△ABC，當(dāng)然還有△QBM～△PMC． 　　(3)由(1)知四邊形AQMP是平行四邊形，設(shè)想點(diǎn)M在邊BC上移動(dòng)．當(dāng)BM＜MC時(shí)，QM＜MP；當(dāng)BM＞MC時(shí)．QM＞MP．可想而知當(dāng)BM＝MC時(shí)QM＝MP．于是得解． 　　另一方面，由(1)知QB＝QM，要想使AQ＝QM只要AQ＝QB即可．因?yàn)镸Q∥是BC的中點(diǎn)即可．故得另一解法． 　　解　(1)PM∥AB，QM∥邊形AQMP為平行四邊形，且∠BMQ＝∠C，∠PMC＝∠B．又∵AB＝AC＝a．∴∠B＝∠C．∴∠BMQ＝∠B＝∠C＝∠PMC．∴QB＝QM，PM＝PC．∴四邊形AQMF的周長(zhǎng)為：AQ＋QM＋MP＋PA＝AQ＋QB＋PC＋PA＝AB＋AC＝2a． 　　(2)△ABC～△QBM～△PMC． 　　(3)解法一，當(dāng)M為底邊BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AQMP為菱形，∵M(jìn)為底邊BC的中點(diǎn)， 　　∴BM＝CM． 　　由(1)知：∠B＝∠C，∠BMQ＝∠CMP，∴△BQM≌△CPM．∴PM＝QM．由(1)知：四邊形AQMP為平行四邊形． 　　∴四邊形AQMP為菱形． 　　解法二：當(dāng)M為底邊BC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形AQMP為菱形．∵M(jìn)為底邊BC的中點(diǎn)，QM∥AC，∴Q為AB的中點(diǎn)，由(1)知QB＝QM，∴AQ＝QM，由(1)知四邊形AQMP是平行四邊形．∴四邊形AQMP是菱形．