Question

已知如圖，AC=BC，∠C=90°，∠A的平分線AD交BC于D，過B作BE垂直AD于E，求證：BE=AD．

Answer 1

解：如圖，延長AC、BE交于點M，
∵∠A的平分線AD，BE垂直AD于E，
∴∠MAE=∠BAE，∠AEM=∠AEB=90°，
∵AE=AE，
∴△AEM≌△AEB（ASA），
∴EM=BE，即BM=2BE①；
∵∠A的平分線AD，AC=BC，∠C=90°，
∴∠CAD=∠DAB=22.5°，∠ABC=45°，
∵BE垂直AD于E，
∴∠DAB+∠ABC+∠DBE=90°，即∠DBE=22.5°，
∴∠CAD=∠DBE，
又∵AC=BC，且∠ACB=∠BCM=90°，
∴△ACD≌△BCM（ASA），
∴AD=BM②；
由①②得AD=2BE，
即BE=AD．
分析：延長AC、BE交于點M，易證得△ACD≌△BCM，可得AD=BM①，可證得△AEM≌△AEB，可得EM=BE，即BM=2BE②，由①②即可得結論．
點評：本題主要考查了全等三角形的判定和性質，涉及到等腰直角三角形的性質、三角形內角和定理等知識點，正確作出輔助線是解題的關鍵．