Question

在平面直角坐標系中，函數y=（m＞0）的圖象經過點A（1，4）、B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸的垂線，垂足為C；過點B作y軸的垂線，垂足為D，AC與BD相交于點M，連接AB、AD、BC、CD．
（1）求m的值；
（2）求證：CD∥AB；
（3）當AD=BC時，求直線AB的函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據函數y=（m＞0）的圖象經過點A（1，4），代入求出即可；
（2）根據解析式得出B、C、D、M的坐標，然后分別表示出線段DM，MB，AM，MC的長，可求出△CDM∽△ABM進而得出CD∥AB；
（3）根據四邊形ABCD為平行四邊形以及四邊形ABCD為等腰梯形分別得出即可．
解答：（1）解：∵函數y=（m＞0）的圖象經過點A（1，4），
∴代入求出：m=4；

（2）證明：由題意得：B、C（1，0）、D（0，）、M（1，）
∴DM=1，MB=a-1，AM=4-，MC=
∴，
∴
∵∠DMC=∠BMA
∴△CDM∽△ABM，
∴∠DCA=∠BAC
∴CD∥AB；

（3）解：設直線AB的函數解析式為y=kx+b
∵CD∥AB，AD=BC
∴四邊形ABCD為平行四邊形或等腰梯形
情況1：四邊形ABCD為平行四邊形
則DM=MB
∴a-1=1，a=2
∴B（2，2），
∵A（1，4）、B（2，2）在直線AB上，
把點A（1，4）、B（2，2）分別代入y=kx+b中
，
解得：
則直線解析式為：y=-2x+6，
情況2：四邊形ABCD為等腰梯形
則AC=BD
∴a=4，
∴B（4，1），
∵A（1，4）、B（4，1）在直線AB上，
把點A（1，4）、B（4，1）分別代入y=kx+b中
，
解得：
則直線解析式為：y=-x+5
綜上所述，直線AB的函數解析式為y=-2x+6或y=-x+5．
點評：此題主要考查了反比例函數的性質以及平行四邊形的性質和等腰梯形的性質、相似三角形的判定，此題綜合性較強是中考中重點題型，特別注意相似三角形的應用是考查重點．