Question

如圖（1），已知圓O是等邊△ABC的外接圓，過O點作MN//BC分別交AB、AC于M、N，且MN=a。另一個與△ABC全等的等邊△DEF的頂點D在MN上移動（不與點M、N重合），并始終保持EF//BC，DF交AB于點P，DE交AC于點Q。

（1）試判斷四邊形APDQ的形狀，并進行證明；

（2）設DM為x，四邊形APDQ的面積為y，試探究y與x的函數關系式；四邊形APDQ的面積能取到最大值嗎？如果能，請求出它的最大值，并確定此時D點的位置。

（3）如圖（2），當D點和圓心O重合時，請判斷四邊形APDQ的形狀，并說明理由；你能發現四邊形APDQ的面積與△ABC的面積有何關系嗎？為什么？

Answer 1

（1）可知四邊形APDQ為平行四邊形

證明：由題知△ABC≌△DEF  且△ABC

△DEF為等邊三角形

∴∠BAC=∠EDF=60°

又∵EF//BC，MN//BC

∴EF//BC//MN

∴∠MDF=∠DFE=60°，∠FED=∠EDN=60°

∠MNA=∠BCA=60°，∠QDN=∠QND=60°

∴△DQN為等邊三角形

∴∠DQN=∠PDQ=60°，∴PD//AQ

∴∠BAC=∠DQN=60°，∴AP//DQ

∴四邊形APDQ為平行四邊形

（2）

∴當x取時，即D點位于MN的中點位置時，四邊形APDQ的面積最大，且最大值為

（3）當D點和圓心O重合時，四邊形APDQ為菱形

理由：由（1）、（2）可知，△MPO，△QON為等邊三角形，且MO=ON

所以△MPQ≌△QON

因此OP=OQ，又因為四邊形APDQ為平行四邊形。

所以可知四邊形APDQ為菱形

由題可知，，而由（2）知