Question

已知二次函數．

1. 求證：無論m為任何實數，該二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；

2. 當該二次函數的圖象經過點（3，6）時，求二次函數的解析式；

3.將直線y=x向下平移2個單位長度后與（2）中的拋物線交于A、B兩點（點A在點B的左邊），一個動點P自A點出發，先到達拋物線的對稱軸上的某點E，再到達x軸上的某點F，最后運動到點B．求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

 

 

Answer 1

 

1.證明：令y=0,則．

∵△=,             

又∵，  ∴．即△>0．

∴無論m為任何實數，一元二次方程總有兩不等實根．

∴該二次函數圖象與x軸都有兩個交點．    

2.解：∵二次函數的圖象經過點（3，6）,

 ∴ .解得 .  

 ∴二次函數的解析式為

3.解：將向下平移2個單位長度后得到解析式為：

  解方程組   得      

  ∴直線與拋物線的交點為 

∴點A關于對稱軸的對稱點是,點B關于x軸的對稱點是.

      設過點、的直線解析式為．

     ∴     解得

∴直線的解析式為.

∴直線與x軸的交點為.                       

與直線的交點為.                          

則點、 為所求．

過點做，∴，.

在Rt△中，.

∴所求最短總路徑的長為.

解析:略