Question

如圖，已知A（2，4），以A為頂點的拋物線經過原點交x軸于B．
（1）求拋物線解析式；
（2）取OA上一點D，以OD為直徑作⊙C交x軸于E，作EF⊥AB于F，求證EF是⊙C的切線；
（3）設⊙C半徑為r，EF=m，求m與r的函數關系式及自變量r的取值范圍；
（4）當⊙C與AB相切時，求⊙C半徑r的值．

Answer 1

分析：（1）已知了拋物線頂點的坐標，可用頂點式的二次函數通式來設二次函數的解析式，將原點的坐標代入解析式中即可求出二次函數的解析式；
（2）要證EF是圓C的切線，那么可連接CE，證CE⊥EF即可，由于EF⊥AB，那么只需證明CE∥AB即可得出EF是切線的結論，那么OC=CE，根據拋物線的對稱性可得OA=AB，由這兩組相等的線段即可得出∠OEC=∠ABO，由此可得證；
（3）由（2）可知∠ABO=∠AOB，那么可通過三角函數來解，根據A，O，B的坐標不難得出∠AOB，∠ABO的正弦值，那么可過C作OB的垂線，垂足為M，可在直角三角形OCM中，用∠AOB的正切值以及r的長表示出OM，也就求出了OE，進而可表示出BE的長，然后在直角三角形BFE中，根據∠ABO的正弦值用BE表示出BF，由此可得出關于m，r的函數關系式；
（4）如果⊙C與AB相切，設切點為G，那么如果連接CG，四邊形CEFG就是正方形，那么r=m=EF，那么根據（3）中m，r的函數關系式，將m=r代入（3）的函數關系式中即可求出r的值．

解答：解：（1）設y=a（x-2）²+4，由于拋物線過原點（0，0），則有
0=4a+4，
即a=-1．
因此拋物線的解析式為：y=-x²+4x．

（2）連CE，則∠COE=∠CEO，
根據A是拋物線的頂點，可知OA=AB，即∠AOB=∠OBA．
∴∠OEC=∠ABO．
∴CE∥AB，又EF⊥AB，
∴CE⊥EF
∴EF是⊙C的切線．

（3）分別過C、A作OB的垂線，垂足分別為M、N，
直角三角形OAN中，cos∠AOB=

5

5

，
因此：OM=

5

5

r，OE=2OM=

2 5

5

r，EB=4-

2 5

5

r
∴m=-

4

5

r+

8 5

5

（0＜r＜

5

）；

（4）設⊙C切AB于點G
連接CG，則CG⊥AB
∴∠CGF=∠EFG=∠CEF=90°
∴四邊形CEFG為矩形
又CE=CG
∴四邊形CEFG為正方形
∴EF=r
∴m=r①
由（3）得m=-

4

5

r+

8 5

5

，
解得r=

8 5

9

．

點評：本題主要考查了切線的判定，解直角三角形以及二次函數的綜合應用等知識點，用數形結合的思想進行求解是解題的基本思路．