Question

如圖①，點A、B分別在x軸和y軸的正半軸上，且OA、OB的長是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），直線BC平分∠ABO，交x軸于點C．P是射線BC上一動點．

（1）設△PAB與△OPB的面積分別為S₁、S₂，求S₁：S₂的值；
（2）求直線BC的解析式；
（3）過O點作OE⊥BC，交AB于點E，（如圖②）．若S_△AOP=S_△AEP，求P點坐標．

Answer 1

解：
（1）如圖①，過P點作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分別為D、H，
∵BC為∠ABO的平分線，
∴PH=PD，
∴S₁：S₂=AB：OB，
又∵OA、OB的長是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），
解方程得：x₁=8，x₂=6，
∴OA=8，OB=6，
∴AB=10，
∴S₁：S₂=AB：OB=5：3；

（2）過C點作CK⊥AB，垂足為K，
∴OC=CK，
∴S_△AOB=OC（OB+AB）=8OC=24，
∴OC=3，
∴C（3，0），
∴y=-2x+6；

（3）①當O、P、E三點共線時，（P在OE與BC交點時）有S_△AOP=S_△AEP，
過E點作EG⊥OA，垂足為G，
∵OE⊥BC，BC平分∠ABO，
∴P是OE的中點，
∴PF是△OEG的中位線，
∵△AGE∽△AOB，
∴，
∴EG=，y_P=，
把y_P=，代入y=-2x+6中，求得x_P=，
∴P₁（）；
②當PA∥OE時，有S_△AOP=S_△AEP，
∴P₂（4，-2）．
或用代數方法：設E點坐標為（x，y），根據勾股定理求出，
再將代入y=-2x+6，同樣求出P₁（）、P₂（4，-2）．
分析：（1）如圖①，過P點作PD⊥BO，PH⊥AB，垂足分別為D、H，由BC為∠ABO的平分線，可得PH=PD，則可得S₁：S₂=AB：OB，又∵OA、OB的長是方程x²-14x+48=0的兩根（OA＞OB），解方程即可求得OA，OB的長，則可得S₁：S₂的值；
（2）過C點作CK⊥AB，垂足為K，可得OC=CK，由S_△AOB=OC（OB+AB）=8OC=24，可求得點C的坐標，即即可得直線BC的解析式；
（3）分別從①當O、P、E三點共線時，（P在OE與BC交點時）有S_△AOP=S_△AEP，②當PA∥OE時，有S_△AOP=S_△AEP去分析，利用三角形的面積求解方法，即可求得P點坐標．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，一次函數的知識，三角形面積的求解方法等知識．此題綜合性很強，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用．