Question

如圖，經過點A（0，-4）的拋物線y=x²+bx+c與x軸相交于B（-2，0），C兩點，O為坐標原點．
（1）求拋物線的解析式；
（2）將拋物線y=x²+bx+c向上平移個單位長度，再向左平移m（m＞0）個單位長度得到新拋物線，若新拋物線的頂點P在△ABC內，求m的取值范圍；
（3）設點M在y軸上，∠OMB+∠OAB=∠ACB，求AM的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）該拋物線的解析式中只有兩個待定系數，只需將A、B兩點坐標代入即可得解．
（2）首先根據平移條件表示出移動后的函數解析式，進而用m表示出該函數的頂點坐標，將其代入直線AB、AC的解析式中，即可確定P在△ABC內時m的取值范圍．
（3）先在OA上取點N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，顯然在y軸的正負半軸上都有一個符合條件的M點；以y軸正半軸上的點M為例，先證△ABN、△AMB相似，然后通過相關比例線段求出AM的長．
解答：解：（1）將A（0，-4）、B（-2，0）代入拋物線y=x²+bx+c中，得：
，
解得：
故拋物線的解析式：y=x²-x-4．

（2）由題意，新拋物線的解析式可表示為：y=（x+m）²-（x+m）-4+，即：y=x²+（m-1）x+m²-m-；
它的頂點坐標P：（1-m，-1）；
由（1）的拋物線解析式可得：C（4，0）；
那么直線AB：y=-2x-4；直線AC：y=x-4；
當點P在直線AB上時，-2（1-m）-4=-1，解得：m=；
當點P在直線AC上時，（1-m）-4=-1，解得：m=-2；
∴當點P在△ABC內時，-2＜m＜；
又∵m＞0，
∴符合條件的m的取值范圍：0＜m＜．

（3）由A（0，-4）、C（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形；
如圖，在OA上取ON=OB=2，則∠ONB=∠ACB=45°；
∴∠ONB=∠NBA+∠OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠NBA=∠OMB；
如圖，在△ABN、△AM₁B中，
∠BAN=∠M₁AB，∠ABN=∠AM₁B，
∴△ABN∽△AM₁B，得：AB²=AN•AM₁；
易得：AB²=（-2）²+4²=20，AN=OA-ON=4-2=2；
∴AM₁=20÷2=10；
而∠BM₁A=∠BM₂A=∠ABN，
∴OM₁=OM₂=6，AM₂=OM₂-OA=6-4=2．
綜上，AM的長為10或2．
點評：考查了二次函數綜合題，該函數綜合題的難度較大，（3）題注意分類討論，通過構建相似三角形是打開思路的關鍵所在．