Question

已知等邊△ABC內接于⊙O，點P是劣弧上的一點（端點除外），延長BP至D，使BD=AP，連接CD．
（1）若AP過圓心O，如圖1，且圓O的直徑為10cm，求CD的長；
（2）若AP不過圓心O，如圖2，PC=3cm，求PD的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等邊三角形的性質得到AC=BC，∠BAC=60°，又AP過圓心O可得到AP平分∠CAB，AP為直徑，根據直徑所對的圓周角為直角得到∠ACP=90°，再利用含30°的直角三角形三邊的關系得到CP=AP=×10=5（cm），利用圓周角定理可得到∠CAP=∠CBP，易證得△CAP≌△CBD，則CP=CD，根據圓內接四邊形的性質得到∠CPD=∠CAB=60°，則△PCD為等邊三角形，于是CD=PC=5cm；
（2）與（1）的證明方法一樣可得到△PCD為等邊三角形，則CD=PC=3cm．
解答：解：（1）∵△ABC為等腰三角形，
∴AC=BC，∠BAC=60°，
∵AP過圓心O，
∴AP平分∠CAB，AP為直徑，
∴∠CAP=30°，∠ACP=90°，
∴CP=AP=×10=5（cm），
在△CAP和△CBD中
∵，
∴△CAP≌△CBD，
∴CP=CD，
∵∠CPD=∠CAB=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∴CD=PC=5cm；

（2）與（1）一樣可證明得到△CAP≌△CBD，
則CP=CD，
∵∠CPD=∠CAB=60°，
∴△PCD為等邊三角形，
∴CD=PC=3cm．
點評：本題考查了圓的綜合題：在同圓或等圓中，同弧所對的圓周角相等；直徑所對的圓周角為直角；圓的內接四邊形的性質在幾何證明中也常用到．