Question

（2012•武漢模擬）如圖1，已知拋物線y=x²-2x-3與x軸交于點A和點B，與y軸相交于點C．
（1）求A、B、C三點的坐標；
（2）點D為射線CB上的一動點（點D、B不重合），過點B作x軸的垂線BE與以點D為頂點的拋物線y=（x-t）²+h相交于點E，從△ADE和△ADB中任選一個三角形，求出當其面積等于△ABE的面積時的t的值；（友情提示：1、只選取一個三角形求解即可；2、若對兩個三角形都作了解答，只按第一個解答給分．）
（3）如圖2，若點P是直線y=x上的一個動點，點Q是拋物線上的一個動點，若以點O，C，P和Q為頂點的四邊形為直角梯形，求相應的點P的坐標．

Answer 1

分析：（1）令y=x²-2x-3=0，求出方程的兩根，A、B兩點的坐標即可求出，令x=0，求出y，C點的坐標可求出；
（2）根據拋物線y=（x-t）²+h沿射線CB作平移變換，其頂點D（t，h）在射線CB上運動，易知直線CB的函數關系式為y=x-3，求出h與t之間的關系式，從△ADE和△ADB中任選一個三角形，求出當其面積等于△ABE的面積時的t的值即可；
（3）設P點坐標為（a，a），根據點O，C，P和Q為頂點的四邊形為直角梯形，分別討論直角頂點的情況，求出a的值即可．

解答：解：（1）當y=0時，x²-2x-3=0，解之得x₁=-1，x₂=3，
所以A、B兩點的坐標分別為（-1，0），（3，0）．
當x=0時，y=-3，
∴C點的坐標為（0，-3）．

（2）由題意可知，拋物線y=（x-t）²+h沿射線CB作平移變換，其頂點D（t，h）在射線CB上運動，易知直線CB的函數關系式為y=x-3，
∴h=t-3．
①選取△ADE．
△ADE與△ABE共邊AE，當它們的面積相等時，點D和點B到AE的距離相等，此時直線AE∥BC，
∴直線AE的函數關系式為y=x+1，
∴點E的坐標為（3，4）．
因為點E在拋物線上，∴4=（3-t）²+h，
∴4=（3-t）²+（t-3），…（6分）
解之得，t₁=

5+ 17

2

，t₂=

5- 17

2

．              
②選取△ADB．
△ADB與△ABE共邊AB，當它們的面積相等時，點D和點E到x軸的距離相等，
∵點D到x軸的距離為|t-3|，點E到x軸的距離為|（3-t）²+（t-3）|，
∴|t-3|=|（3-t）²+（t-3）|．                            
t-3=（3-t）²+（t-3），或3-t=（3-t）²+（t-3），
解之得t=3或t=1，其中t=3時，點D、B重合，舍去，∴t=1．    
（3）如圖3：以OC為腰時，點Q與點A重合，
故CP∥OA，
∵點C的坐標為（0，-3），
∴點P的縱坐標為-3，
∵點P在y=x上，
∴此時點P的坐標為（-3，-3）；
如圖4：

以OC為腰時，過點C作y=x的平行線，則可求得與拋物線交點為B，此時可求出點P的坐標為（1.5，1.5）；
如圖以OC為底時，
①以OC為下底時，點Q與點A重合，
∵點A的坐標為（1，0），
∴點P的坐標為（-1，-1）；
②以OC為上底時，如圖4，
CQ∥x軸，
∵點C的坐標為（0，-3），
∴點Q的坐標為：（2，-3），
∵PQ∥OC，
∴點P的坐標為（2，2）．

點評：本題主要考查二次函數的綜合題的知識點，解答本題的關鍵是掌握拋物線圖象得性質和特點，特別是第三問要進行分類討論，此題難度較大．