Question

一座拱型橋，橋下水面寬度AB是20米，拱高CD是4米．若水面上升3米至EF，則水面寬度EF是多少？
（1）若把它看作是拋物線的一部分，在坐標系中（如圖1）可設拋物線的表達式為y=ax²+c．請你填空：
a=______，c=______，EF=______米．
（2）若把它看作是圓的一部分，則可構造圖形（如圖2）計算如下：
設圓的半徑是r米，在Rt△OCB中，易知r²=（r-4）²+10²，r=14.5
同理，當水面上升3米至EF，在Rt△OGF中可計算出GF=______

Answer 1

【答案】分析：求a、c的值可以利用待定系數法，求出A，D的坐標就可以．計算EF的差的近似值，可以利用函數解析式求出準確值，然后利用垂徑定理求出近似值，兩者求差．
解答：解：（1）AB是20米，則AC=10米，拱高CD是4米．則A，D的坐標分別是（-10，0），（0，4）
把這兩點的坐標代入解析式得到：
解得：a=-，c=4，
則解析式是y=-x²+4．
把y=3代入解析式解得x=±5，則EF=10米．

（2）在Rt△OGF中，由題可知，OF=14.5，OG=14.5-1=13.5，
根據勾股定理知：GF²=OF²-OG²，
即GF²=14.5²-13.5²=28，
所以GF=2，此時水面寬度EF=4米．

（3）誤差估計如下：
解法一：∵2.6＜＜2.7，≈2.65，4≈10.6
∴4-10≈0.6．（8分）
∴差的近似值約為0.6米．（9分）
解法二：∵4=在10到11之間，
∴可得10.5＜4=＜10.6，
∴0.5＜4-10＜0.6，（8分）
∴差的近似值約為0.5或0.6米．（9分）
點評：求函數的解析式，常用的方法是待定系數法，涉及圓中求半徑的問題，此類在圓中涉及弦長、半徑、圓心角的計算的問題，常把半弦長，半圓心角，圓心到弦距離轉換到同一直角三角形中，然后通過直角三角形求解．