Question

如圖，拋物線y=

1

2

x²+x-

3

2

與x軸相交于A、B兩點，頂點為P．
（1）求點A、B的坐標；
（2）在拋物線是否存在點E，使△ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）坐標平面內是否存在點F，使得以A、B、P、F為頂點的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符合條件的點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）令y=0，則

1

2

x²+x-

3

2

=0，解方程即可得到點A、B的坐標；
（2）先利用對稱性得到頂點P的坐標，然后根據△ABP的面積等于△ABE的面積得到點E坐標為（a，2），再把E（a，2）代入拋物線的解析式得到關于a的方程，解方程即可確定E點坐標；
（3）分類討論：分別以AB、PA、PB為平行四邊形的對角線，根據平行四邊的性質易確定點F的坐標．

解答：解：（1）令y=0，則

1

2

x²+x-

3

2

=0，
解得x₁=-3，x₂=1，
∴點A坐標為（-3，0），點B的坐標為（1，0）；

（2）存在．
拋物線的對稱軸為直線x=-1，令x=-1，則y=

1

2

-1-

3

2

=-2，
∴P點坐標為（-1，-2），
∵△ABP的面積等于△ABE的面積，
∴點E到AB的距離等于2，
設E（a，2），
把E（a，2）代入拋物線的解析式得，

1

2

a²+a-

3

2

=2，解得a=-1-2

2

或-1+2

2

，
∴符合條件的點E的坐標為（-1-2

2

，2）或（-1+2

2

，2）．

（3）所有符合條件的點F的坐標為（-1，2）、（3，-2）、（-5，-2）．

點評：本題考查了解二次函數的綜合題的方法：先通過二次函數的解析式確定各特殊點的坐標，得到有關線段的長，然后利用幾何性質（如三角形面積公式，平行四邊形的性質）去確定其他點的坐標．