Question

已知二次函數y=x²-（m²+8）x+2（m²+6），設拋物線頂點為A，與x軸交于B、C兩點，問是否存在實數m，使△ABC為等腰直角三角形？如果存在求m；若不存在說明理由．

Answer 1

分析：先根據題意畫出圖形，設出B、C兩點的坐標，根據根與系數的關系用m表示出BC的長，由拋物線的頂點式求出A的縱坐標及AD的長，根據等腰三角形的性質可得到BC=2AD，代入關系式即可求出m的值，由m的值即可作出判斷．

解答：解：若△ABC是等腰直角三角形，則∠BAC=90°，
設B、C兩點的坐標分別為（x₁，0）、（x₂，0），x₁＜x₂，則x₁、x₂是方程x²-（m²+8）x+2（m²+6）=0的兩個根，
∴x₁+x₂=m²+8，x₁•x₂=2（m²+6），
∴x₁＞0，x₂＞0，
∴BC=x₂-x₁，
∵（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（m²+8）²-8（m²+6），
=（m²+4）²，
∴BC=m²+4，
∵由拋物線的頂點坐標可知，A點的縱坐標為，

8(m2+6)-(m2+8)2

4

=2（m²+6）-

(m2+8)2

4

，
∴AD=

(m2+8)2

4

-2（m²+6），
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴BC=2AD，
∴m²+4=

(m2+8)2

2

-4（m²+6），
解得m²=-2＜0，m²=-4＜0，都無意義．
故答案為：不存在實數m，使△ABC為等腰直角三角形．

點評：本題考查的是拋物線與x軸的交點、根與系數的關系及等腰直角三角形的性質，根據題意設出各點的坐標，由直角三角形的性質得出BC=2AD是解答此題的關鍵．