Question

在平面直角坐標系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點A的坐標為（1，0），點D的坐標為（0，2）．延長CB交x軸于點A₁，作正方形A₁B₁C₁C；延長C₁B₁交x軸于點A₂，作正方形…按這樣的規律進行下去，第3個正方形的面積為    ；第n個正方形的面積為    （用含n的代數式表示）．

Answer 1

【答案】分析：根據相似三角形的判定原理，得出△AA₁B∽△A₁A₂B₁，繼而得知∠BAA₁=∠B₁A₁A₂；利用勾股定理計算出正方形的邊長；最后利用正方形的面積公式計算三個正方形的面積，從中找出規律．
解答：解：設正方形的面積分別為S₁，S₂…，S_n，
根據題意，得：AD∥BC∥C₁A₂∥C₂B₂，
∴∠BAA₁=∠B₁A₁A₂=∠B₂A₂x（同位角相等）．
∵∠ABA₁=∠A₁B₁A₂=∠A₂B₂x=90°，
∴△BAA₁∽△B₁A₁A₂，
在直角△ADO中，根據勾股定理，得：AD=，tan∠ADO==，
∵tan∠BAA₁==tan∠ADO，
∴BA₁=AB=，
∴CA₁=+，
同理，得：C₁A₂=×（1+）
由正方形的面積公式，得：S₁=（）²，
S₂=（）²×（1+）²，
S₃=（）²×（1+）⁴=5×（）⁴，
由此，可得S_n=（）²×（1+）^2（n-1）=5×（）^2n-2．
故答案為：5×（）⁴，5×（）^2n-2．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，正方形的性質等知識．解此題的關鍵是找到規律S_n=（）²×（1+）^2（n-1）=5×（）^2n-2．