Question

如圖，△ABC中，∠BAC=90°，BC的垂直平分線和BC相交于點D，和∠BAC的平分線AE相交于點E，AE和BC相交于點F．求證：DE=

1

2

BC．

Answer 1

分析：連接AD．根據題意得∠1=∠C，再由角平分線的性質得出∠2與1的關系，因為DE⊥BC，得出∠2=∠E，從而得出DE=

1

2

BC．

解答：證明：連接AD．（1分）
∵∠BAC=90°，D是BC的中點，
∴DA=DC=

1

2

BC．（1分）
∴∠1=∠C．（1分）
又∵AE平分∠BAC，
∴∠CAF=45°．（1分）
∴∠2=45°-∠1．（1分）
又∵∠3=∠FAC+∠C
=45°+∠C，
∵DE⊥BC于點D，
∴∠E=90°-∠3
=90°-（45°+∠C）
=45°-∠C
∴∠2=∠E．
∴DE=AD．
∴DE=

1

2

BC．

點評：本題考查了直角三角形的性質以及線段垂直平分線的性質，是基礎題目比較簡單．