Question

（1）已知：如圖1，△ABC為正三角形，點M、N分別在BC、CA邊上，且BM=CN，BN與AM相交于Q點，試求∠BQM的度數．
解：∵△ABC為正三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，AB=BC．
在△ABM和△BCN中，

. =        . ∠        . =∠        .        . =        .

?△ABM≌△BCN（

 

）．
∴∠

 

=∠

 

，
∴∠BQM=∠

 

+∠

 

=∠

 

+∠

 

=

 

°．
（2）如果將（1）中的正三角形改為正方形ABCD（如圖2），點M、N分別在BC、CD邊上，且BM=CN，BN與AM相交于Q點，那么∠BQM等于多少度呢？說明理由．

（3）如果將（1）中的“正三角形”改為正五邊形、正六邊形、…、正n邊形（如圖3），其余條件都不變，請你根據（1）（2）的求解思路，將你推斷的結論填入下表：（正多邊形的各個內角都相等）

正多邊形	正五邊形	正六邊形	…	正n邊形
∠BQM的度數			…

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質，三條邊都相等，三個角都是直角找出條件，然后利用“邊角邊”定理證明△ABM和△BCN全等，再根據全等三角形對應角相等得到∠BAM=∠CBN，然后即可證明∠BQM=∠ABQ+∠CBN=60°；
（2）同（1）的思路先證明△ABM和△BCN全等，再根據全等三角形對應角相等得到∠BAM=∠CBN，然后即可證明∠BQM=∠ABQ+∠CBN=90°；
（3）根據規律，∠BQM的度數等于正多邊形的一個內角的度數，然后分別求出各多邊形的內角的度數即可．

解答：解：（1）故答案為：

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

，（SAS），∠BAM=∠CBN，
∠BAQ+∠ABQ，∠ABQ+∠QBM，60；

（2）∵ABCD為正方形，
∴∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC，
在△ABM和△BCN中，

AB=BC ∠ABM=∠BCN BM=CN

?△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAQ=∠QBM，
∴∠BQM=∠BAQ+∠ABQ=∠ABQ+∠QBM=90°；

（3）108°，120°，180°-

360°

n

或

(n-2)•180°

n

．

點評：本題考查了全等三角形的判定與性質，等邊三角形的性質，正方形的性質，以及多邊形的內角的求法，規律性較強，難度不大，希望同學們熟練掌握．