Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=12，AD=4，∠B=60°，點P是腰AB上的一個動點．
（1）求BC的長．
（2）如圖1，如果點M在BC上，BM=12，PM平分梯形ABCD的面積，求出此時PB的長；
（3）過點P作直線PM，是否存在PM將梯形ABCD的周長和面積同時平分？若存在，求出此時PB的長；若不存在，請說明理由；

Answer 1

（1）過點A作AE⊥BC，DF⊥BC，
∵∠B=60°，AB=12，
∴sin60°=

AE

12

，
∴AE=6

3

，
∴BE=6，同理可證：FC=6，
∴BC=BE+EF+FC=6+4+6=16；

（2）作△PBM的高PG，


∵等腰梯形ABCD的面積是：

1

2

（AD+BC）?AE=

1

2

×（4+16）×6

3

=60

3

∵PM平分梯形ABCD的面積，
∴S_△PBM=30

3

，
∵BM=12，
∴PG=5

3

，
∵∠B=60°，
∴PB=

5 3

sin60°

，
∴PB=10；

（3）當M在BC上時，梯形ABCD的周長是4+12+16+12=44，
∵PB=10，BM=12時PB+BM=22（符合題意），
PB=12，BM=10時 PB+BM=22（符合題意），
當M在DC上時（舍去），
當M在AD上（舍去），
則存在符合題意的直線PM．