Question

如圖1，點C、B分別為拋物線C₁：y₁=x²+1，拋物線C₂：y₂=a₂x²+b₂x+c₂的頂點．分別過點B、C作x軸的平行線，交拋物線C₁、C₂于點A、D，且AB=BD．
（1）求點A的坐標：
（2）如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=2x²+b₁x+c₁”．其他條件不變，求CD的長和a₂的值；
（3）如圖2，若將拋物線C₁：“y₁=x²+1”改為拋物線“y₁=4x²+b₁x+c₁”，其他條件不變，求b₁+b₂的值______

Answer 1

【答案】分析：（1）連接AC、BC，根據二次函數圖象的對稱性可得AC=BC，BC=BD，再根據已知條件AB=BD，可以證明得到△ABC是等邊三角形，所以∠ACE=30°，然后設AE=m，根據等邊三角形的性質求出CE的長，再根據拋物線C₁：y₁=x²+1求出點C的坐標，從而表示出點A的坐標，然后把點A的坐標代入拋物線C₁的解析式，然后解關于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到點A的坐標；
（2）過點C作CE⊥AB于點E，設拋物線y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，然后表示出C的坐標，再設AE=m，根據等邊三角形的性質求出CE的長度，從而得到點A的坐標，把點A的坐標代入拋物線C₁，整理后解關于m的一元二次方程，再根據（1）的結論即可求出CD的長；根據CD的長求出CE的長度，然后表示出點B的坐標，根據點B在是拋物線C₂的頂點，從而得到拋物線C₂的頂點式解析式，然后根據點C在拋物線C₂上，把點C的坐標代入拋物線C₂的解析式，整理求解即可得到a₂的值；
（3）根據（1）（2）的結論可知，a₂=-a₁，然后利用兩拋物線的對稱軸表示出CD的長度，再根據（1）（2）的求解過程可得CD=2×，然后代入進行計算即可得解．
解答：解：（1）如圖，連接AC、BC，設直線AB交y軸于點E，
∵AB∥x軸，CD∥x軸，C、B為拋物線C₁、C₂的頂點，
∴AC=BC，BC=BD，
∵AB=BD，
∴AC=BC=AB，
∴△ABC是等邊三角形，
∴∠ACE=30°，
設AE=m，
則CE=AE=m，
∵y₁=x²+1，
∴點C的坐標為（0，1），
∴點A的坐標為（-m，1+m），
∵點A在拋物線C₁上，
∴（-m）²+1=1+m，
整理得m²-m=0，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
∴點A的坐標為（-，4）；


（2）如圖2，連接AC、BC，過點C作CE⊥AB于點E，
設拋物線y₁=2x²+b₁x+c₁=2（x-h₁）²+k₁，
∴點C的坐標為（h₁，k₁），
設AE=m，
∴CE=m，
∴點A的坐標為（h₁-m，k₁+m），
∵點A在拋物線y₁=2（x-h₁）²+k₁上，
∴2（h₁-m-h₁）²+k₁=k₁+m，
整理得，2m²=m，
解得m₁=，m₂=0（舍去），
由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，
∵AB=2AE=，
∴CD=，
即CD的長為，
根據題意得，CE=BC=×=，
∴點B的坐標為（h₁+，k₁+），
又∵點B是拋物線C₂的頂點，
∴y₂=a₂（x-h₁-）²+k₁+，
∵拋物線C₂過點C（h₁，k₁），
∴a₂（h₁-h₁-）²+k₁+=k₁，
整理得a₂=-，
解得a₂=-2，
即a₂的值為-2；

（3）根據（2）的結論，a₂=-a₁，
CD=--（-）=+=，
根據（1）（2）的求解，CD=2×，
∴b₁+b₂=2．
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要利用了二次函數的對稱性，等邊三角形的性質，二次函數的頂點式解析式與一般解析式之間的轉化，對同學們的能力要求較高，靈活性較強，規律總結比較重要，總體而言，本題難度較大，是道難得的好題．