Question

某鄉薄鐵社廠的王師傅要在長25cm，寬18cm的薄鐵板上截出一個最大的圓和兩個盡可能大的小圓，他先畫了草圖，但他在求小圓的半徑時遇到了困難，請你幫助王師傅計算出這兩個小圓的半徑．

Answer 1

【答案】分析：根據題意：要在薄鐵板上截出一個最大的圓，需使圓的半徑為矩形的寬的一半，即9．根據圖示，可得關于大圓與小圓半徑的關系，列出關系式，進而可求得小圓半徑．此題的關鍵在于畫出關系圖，寫出關系式．
解答：解：設⊙O，⊙O₁與矩形的一邊的切點分別為B，C（如圖所示）．
連接OB，O₁C，OO₁，過O₁作O₁A⊥OB，垂足為A，
由題中條件易知⊙O的直徑為18cm，
于是OB=9cm；
設⊙O₁的半徑為r，則O₁C=r．
由∠OBC=∠O₁CB=∠O₁AB=90°，
得四邊形AO₁CB是矩形，AB=O₁C=r．
又OO₁=OB+r=9+r，BC=25-9-r，AO₁=BC，
在Rt△OAO₁中，OO₁²=AO²+AO₁²，
即（9+r）²=（9-r）²+（25-9-r）²，
解這個方程得r₁=4，r₂=64．
∵64＞18，
∴r=64不合題意，取r=4，
即小圓的半徑為4cm；

另解：如圖，連接OO₁、O₁O₂、O₂O，則△OO₁O₂是等腰三角形．
作OA⊥O₁O₂，垂足為A，則O₁A=O₂A．…2分
∵薄鐵板的寬是18cm，
∴大圓的半徑是9cm．設小圓的半徑為xcm，
則OO₁=9+x，O₁A=O₁O₂=（18-x-x）=9-x，OA=25-9-x，
在Rt△OAO₁中，OO₁²=OA²+O₁A²，即（9+x）²=（9-x）²+（25-9-x）²．…5分
整理，得x²-68x+256=0．解得x₁=4，x₂=64．…8分
∵x₂=64＞9，不合題意，舍去．∴x=4．
答：兩個小圓的半徑是4cm．…10分
點評：本題考查圓與圓外切時兩圓的位置關系及圓心距與兩圓半徑間的關系，解答此類題關鍵是通過圖形找到等量關系．