Question

【題目】如圖，已知拋物線與x軸交于A（﹣1，0）、E（3，0）兩點，與y軸交于點B（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）設拋物線頂點為D，求四邊形AEDB的面積；
（3）△AOB與△DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵拋物線與y軸交于點（0，3），

∴設拋物線解析式為y=ax2+bx+3（a≠0）

根據題意，得 ，

解得 ．

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3

（2）

解：如圖，設該拋物線對稱軸是DF，連接DE、BD．過點B作BG⊥DF于點G．

由頂點坐標公式得頂點坐標為D（1，4）

設對稱軸與x軸的交點為F

∴四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE

= AOBO+ （BO+DF）OF+ EFDF

= ×1×3+ ×（3+4）×1+ ×2×4

=9

（3）

解：相似，如圖，

BD= ；

∴BE=

DE=

∴BD2+BE2=20，DE2=20

即：BD2+BE2=DE2，

所以△BDE是直角三角形

∴∠AOB=∠DBE=90°，且 ，

∴△AOB∽△DBE．

【解析】（1）易得c=3，故設拋物線解析式為y=ax2+bx+3，根據拋物線所過的三點的坐標，可得方程組，解可得a、b的值，即可得解析式；（2）易由頂點坐標公式得頂點坐標，根據圖形間的關系可得四邊形ABDE的面積=S△ABO+S梯形BOFD+S△DFE ， 代入數值可得答案；（3）根據題意，易得∠AOB=∠DBE=90°，且 ，即可判斷出兩三角形相似．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用二次函數的圖象和二次函數的性質的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握二次函數圖像關鍵點：1、開口方向2、對稱軸 3、頂點 4、與x軸交點 5、與y軸交點；增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減小；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減小．