Question

（2012•同安區一模）已知二次函數y=-x²+3x+k的圖象經過點C（0，-2），與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），直線x=m（m＞2）與x軸交于點D
（1）在直線x=m（m＞2）上有一點E（點E在第四象限），使得E、D、B為頂點的三角形與以A、O、C為頂點的三角形相似，求E點坐標（用含m的代數式表示）；
（2）在（1）成立的條件下，拋物線上是否存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形？若存在，請求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線經過點C求出k的值為-2，即可得到拋物線解析式，然后令y=0，解關于x的一元二次方程求出點A、B的坐標，然后求出AO、CO、BD的長度，再分①AO與ED是對應邊，②AO與BD是對應邊兩種情況，利用相似三角形對應邊成比例列出比例式，然后用m表示出ED的長度，根據點E在第四象限寫出點E的坐標即可；
（2）根據平行四邊形的對邊平行且相等，用點E的坐標表示出點F的坐標，然后把點F的坐標代入拋物線，解方程求出m的值，符合m＞2，則存在，否則不存在．

解答：解：（1）∵二次函數y=-x²+3x+k的圖象經過點C（0，-2），
∴二次函數的解析式y=-x²+3x-2，
令y=0，則-x²+3x-2=0，解得x₁=1，x₂=2，
所以，點A（1，0），B（2，0），
所以，AO=1，CO=2，BD=m-2．
①AO與ED是對應邊時，∵△AOC∽△EDB，
∴

AO

ED

=

CO

BD

，
即

1

ED

=

2

m-2

，
解得ED=

m-2

2

，
∵點E在第四象限，
∴E₁（m，

2-m

2

），
②AO與BD是對應邊時，∵△AOC∽△BDE，
∴

AO

BD

=

CO

ED

時，
即

1

m-2

=

2

ED

，
解得，ED=2m-4，
∵點E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（2）假設拋物線上存在一點F，使得四邊形ABEF為平行四邊形，
則EF=AB=1，點F的橫坐標為m-1，
當點E₁的坐標為（m，

2-m

2

）時，點F₁的坐標為（m-1，

2-m

2

），
∵點F₁在拋物線的圖象上，
∴

2-m

2

=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
解得m₁=

7

2

，m₂=2（不合題意，舍去），
∴F₁（

5

2

，-

3

4

），
∴S_□ABEF=1×

3

4

=

3

4

；
當點E₂的坐標為（m，4-2m）時，點F₂的坐標為（m-1，4-2m），
∵點F₂在拋物線的圖象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，解得m₁=5，m₂=2（不合題意，舍去），
∴F₂（4，-6），
∴S_□ABEF=1×6=6．

點評：本題是二次函數綜合題型，主要涉及待定系數法求二次函數解析式，相似三角形對應邊成比例的性質，平行四邊形的對邊平行且相等的性質，以及拋物線上點的坐標特征，難點在于要分情況進行討論．