Question

如圖，拋物線y=x²+bx+c經過A（-2、0）B（2、4）兩點，與x軸的另一交點為D，點P（x、y）是線段AB上的一個動點，過P點的直線PQ⊥x軸，與拋物線相交于點Q．
（1）求b、c的值
（2）求線段PQ長度的最大值
（3）當PQ的長度取最大值時，在拋物線上是否存在M、N兩點（點M的橫坐標小于N 的橫坐標），使得P、D、M、N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出MN的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）將A（-2、0）B（2、4）兩點的坐標直接代入y=x²+bx+c就可以求出b、c的值，從而可以求出拋物線的解析式．
（2）根據A（-2、0）B（2、4）兩點的坐標可以求出經過A、B兩點的直線的解析式，由點P（x、y），可以表示出P、Q的坐標，從而可以表示出PQ的值，根據拋物線的最值就可以PQ的最值．
（3）根據拋物線的解析式就可以求出D點的坐標，根據最值就可以求出P的坐標，從而求出PD的值，根據平行四邊形的性質就可以表示出M、N的坐標，由兩點間的距離公式就可以求出M、N的坐標．
解答：解：（1）∵y=x²+bx+c經過A（-2、0）B（2、4）兩點，
∴，
解得：，
∴拋物線的解析式為：y=x²+x-2．

（2）∵A（-2、0），B（2、4），設直線AB的解析式為：y=kx+b，則：
，
解得：，
∴直線AB的解析式為：y=x+2．
∵PQ⊥x軸，P（x、y），
∴P（x，x+2），Q（x，x²+x-2），
∴PQ=x+2-x²-x+2=-x²+4=-（x-0）²+4，
∴當x=0時，PQ的最大值為4，
∴P（0，2）

（3）當y=0時，則x²+x-2=0，
∴x₁=-2，x₂=1，
∴D（1，0）．
∴由勾股定理得PD=
∵四邊形PDNM是平行四邊形，
∴PD=MN，
∵點M的橫坐標小于N 的橫坐標，設M（a，a²+a-2），N（a+1，a²+3a），（a＜0）
∴（a+1-a）²+（a²+3a-a²-a+2）²=5，
∴a₁=0（不合題意），a₂=-2
∴M（-2，0），N（-1，-2）

點評：本題是一道二次函數的綜合試題，考查了待定系數法求二次函數的解析式和求一次函數的解析式，拋物線的最值的運用，平行四邊形的性質的運用、兩點間的距離公式的運用及勾股定理的運用．