Question

如圖所示，AB是⊙O的一條弦（不是直徑），點C，D是直線AB上的兩點，且AC=BD．
（1）判斷△OCD的形狀，并說明理由．
（2）當圖中的點C與點D在線段AB上時（即C，D在A，B兩點之間），（1）題的結論還存在嗎？

Answer 1

解：（1）△OCD是等腰三角形
如左圖所示，過點O作OM⊥AB，垂足為M，則有MA=MB
又AC=BD
∴AC+MA=BD+MB
即CM=DM
又OM⊥CD，即OM是CD的垂直平分線
∴OC=OD
∴△OCD為等腰三角形


（2）當點C，D在線段AB上時，如右圖所示
同（1）題作OM⊥AB，垂足為M
由垂徑定理，得AM=BM
又AC=BD
∴CM=AM-AC=BM-BD=MD
∴OC=OD
∴△OCD為等腰三角形．
分析：（1）過點O作OM⊥AB，根據垂徑定理得出MA=MB，又因為AC=BD，可推理出CM=DM，根據垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等即可得出結論．
（2）解法和（1）相似．
點評：此題通過兩問，引導同學們進行探索，得出相同結論，開闊了同學們的視野，體會數學的奧妙．