Question

（2010•錦州）某商場購進一批單價為50元的商品，規定銷售時單價不低于進價，每件的利潤不超過40%．其中銷售量y（件）與所售單價x（元）的關系可以近似的看作如圖所表示的一次函數．
（1）求y與x之間的函數關系式，并求出x的取值范圍；
（2）設該公司獲得的總利潤（總利潤=總銷售額-總成本）為w元，求w與x之間的函數關系式，當銷售單價為何值時，所獲利潤最大，最大利潤是多少？

Answer 1

【答案】分析：（1）設y與x的函數關系式為y=kx+b，利用圖象經過點（60，400）和（70，300），利用待定系數法求解即可；
（2）用x表示總利潤，得到W=-10x²+1500x-50000，根據二次函數最值的求法求當銷售單價為70元時，所獲得利潤有最大值為6000元．
解答：解：（1）最高銷售單價為50（1+40%）=70（元），（1分）
根據題意，設y與x的函數關系式為y=kx+b（k≠0），（1分）
∵函數圖象經過點（60，400）和（70，300），
∴，（1分）
解得，
∴y與x之間的函數關系式為y=-10x+1000，
x的取值范圍是50≤x≤70；（2分）

（2）根據題意，w=（x-50）（-10x+1000），（1分）
W=-10x²+1500x-50000，w=-10（x-75）²+6250，（1分）
∵a=-10，∴拋物線開口向下，
又∵對稱軸是x=75，自變量x的取值范圍是50≤x≤70，
∴w隨x的增大而增大，（1分）
∴當x=70時，w_最大值=-10（70-75）²+6250=6000（元），
∴當銷售單價為70元時，所獲得利潤有最大值為6000元．（2分）
點評：主要考查利用函數的模型解決實際問題的能力．要先根據題意列出函數關系式，再代數求值．解題的關鍵是要分析題意根據實際意義求解．注意：數學應用題來源于實踐用于實踐，在當今社會市場經濟的環境下，應掌握一些有關商品價格和利潤的知識，總利潤等于總收入減去總成本，然后再利用二次函數求最值．