Question

圖中是一副三角板，45°的三角板Rt△DEF的直角頂點D恰好在30°的三角板Rt△ABC斜邊AB的中點處，∠A=30°，∠E=45°，∠EDF=∠ACB=90°，DE交AC于點G，GM⊥AB于M．

（1）如圖①，當DF經過點C時，作CN⊥AB于N，求證：AM=DN；
（2）如圖②，當DF∥AC時，DF交BC于H，作HN⊥AB于N，（1）的結論仍然成立，請你說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證出△BCD是等邊三角形，再利用等腰三角形三線合一的定理，可得出DN=BD，∠ADG=30°．
那么△ADG是等腰三角形，可得出AM=AD，所以可證出AM=DN；
（2）先證△ADG≌△DBH，在此基礎上再證△AGM≌△DHN，從而得出AM=DN．
解答：（1）證明：∵∠A=30°，∠ACB=90°，D是AB的中點．
∴CD=AD=BD，
又∠B=90°-∠A=60°，
∴△BCD是等邊三角形．
又∵CN⊥DB，
∴DN=DB．
∵∠EDF=90°，△BCD是等邊三角形，
∴∠ADG=30°，而∠A=30°．
∴GA=GD．
∵GM⊥AB，
∴AM=AD．
又∵AD=DB，
∴AM=DN．

（2）解：（1）的結論依然成立．理由如下：
∵DF∥AC，
∴∠1=∠A=30°，∠AGD=∠GDH=90°，
∴∠ADG=60°．
∵∠B=60°，AD=DB，
∴△ADG≌△DBH，
∴AG=DH．
又∵GM⊥AB，HN⊥AB，
∴∠GMA=∠HND=90°，
∵∠1=∠A，
∴Rt△AMG≌Rt△DNH，
∴AM=DN．
點評：本題利用了全等三角形的判定和性質，以及等腰三角形的三線合一定理、等邊三角形的有關性質．