Question

如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝16，DC＝12，AD＝20．動點P從點D出發，在線段DA上以每秒2個單位長的速度向點A運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動．點P，Q分別從點D，C同時出發，當其中一點到達端點時，另一點也隨之停止運動．設運動的時間為t(秒)．

(1)設△BPQ的面積為S，求S與t之間的函數關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

(2)當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？

(3)是否存在某一時刻t，使得PQ⊥BD？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)作PE⊥BC于點E，則四邊形PDCE是矩形， 　　∴PE＝DC＝12，∵CQ＝t，∴BQ＝16－t，　1分 　　∴()　3分 　　(2)①若PB＝PQ，∵PE⊥BC，∴BE＝QE，∵EC＝PD＝， 　　∴BE＝，QE＝ 　　∴，解得　4分 　　②若QB＝QP，作QF⊥AD于點F，在Rt△PFQ中， 　　∵FQ＝CD＝12，PF＝，∴，∵ 　　∴，整理得，解得，　6分 　　③若BQ＝BP，在Rt△PBE中，∵PE＝CD＝12，BE＝ 　　∴ 　　∴，整理得， 　　∵， 　　∴該方程沒有實數根，故BQ≠BP，　7分 　　∴或時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形　8分 　　(3)假設存在某一時刻t，使得PQ⊥BD，作QM⊥AD于點M　9分 　　∵AD∥BC，∠C＝90°，∴∠ADC＝90°，∴∠1＋∠2＝90°， 　　∵PQ⊥BD，∴∠1＋∠3＝90°，∴∠3＝∠2， 　　∴Rt△PMQ∽Rt△DCB，　10分 　　∴，∴，　11分 　　解得，∴當時，PQ⊥BD　12分