Question

（2005•豐臺區）在直角坐標系中，⊙O₁經過坐標原點O，分別與x軸正半軸、y軸正半軸交于點A、B．
（1）如圖，過點A作⊙O₁的切線與y軸交于點C，點O到直線AB的距離為，sin∠ABC=，求直線AC的解析式；
（2）若⊙O₁經過點M（2，2），設△BOA的內切圓的直徑為d，試判斷d+AB的值是否會發生變化？如果不變，求出其值；如果變化，求其變化的范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）過O作OG⊥AB于G，則OG=．根據三角函數分別求出A、C的坐標．利用待定系數法可求得直線AC的解析式為y=x-．
（2）設△AOB的內切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，則可求得BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-，AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d，則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN，求得△BOM≌△ANM，所以有OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4，即d+AB的值不會發生變化，其值為4．
解答：解：（1）如圖1，過O作OG⊥AB于G，則OG=．
設OA=3k（k＞0），
∵∠AOB=90°，sin∠ABC=．
∴AB=5k，OB=4k．
∵OA•OB=AB•OG=2S_△AOB′
∴3k×4k=5×，∴k=1．
∴OA=3，OB=4，AB=5，
∴A（3，0）．
∵∠AOB=90°，
∴AB是⊙O₁的直徑．
∵AC切⊙O₁于A，
∴BA⊥AC，∴∠BAC=90°．
在Rt△ABC中
∵cos∠ABC=，
∴BC=．
∴OC=BC-OB=．
∴C（0，-）．
設直線AC的解析式為y=kx+b，則
∴．
∴直線AC的解析式為y=x-．

（2）結論：d+AB的值不會發生變化，
設△AOB的內切圓分別切OA、OB、AB于點P、Q、T，如圖2所示．
∴BQ=BT，AP=AT，OQ=OP=．
∴BQ=BT=OB-，AP=AT=OA-．
∴AB=BT+AT=OB-+OA-=OA+OB-d．
則d+AB=d+OA+OB-d=OA+OB．
在x軸上取一點N，使AN=OB，連接OM、BM、AM、MN．
∵M（2，2），
∴OM平分∠AOB，
∴OM=2，
∴∠BOM=∠MON=45°，
∴AM=BM，
又∵∠MAN=∠OBM，OB=AN，
∴△BOM≌△ANM，
∴∠BOM=∠ANM=45°，∠ANM=∠MON，
∴OM=NM∠OMN=90°，
∴OA+OB=OA+AN=ON=×OM=×2=4．
∴d+AB的值不會發生變化，其值為4．
點評：主要考查了一次函數和幾何圖形的綜合運用．解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象的性質和交點的意義求出相應的線段的長度或表示線段的長度，再結合具體圖形的性質求解．