Question

(2006山西課改，26)(14分)如圖，已知拋物線與坐標軸的交點依次是A(－4，0)，B(－2，0)，E(0，8)．

(1)求拋物線關于原點對稱的拋物線的解析式；

(2)設拋物線的頂點為M，拋物線與x軸分別交于C、D兩點(點C在點D的左側)，頂點為N，四邊形MDNA的面積為S．若點A、點D同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點M、點N同時以每秒2個單位的速度沿豎直方向分別向下、向上運動，直到點A與點D重合為止．求出四邊形MDNA的面積S與運動時間t之間的關系式，并寫出自變量t的取值范圍；

(3)當t為何值時，四邊形MDNA的面積S有最大值，并求出此最大值；

(4)在運動過程中，四邊形MDNA能否形成矩形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

(1)點A(－4，0)，點B(－2，0)，點E(0，8) 關于原點的對稱點分別為D(4，0)，C(2，0)，F(0，－8)． 設拋物線的解析式是 (a≠0)， 則解得 所以所求拋物線的解析式是． (2)由(1)可計算得點M(－3，－1)，N(3，1) 過點N作NH⊥AD，垂足為H． 當運動到時刻t時，AD=2OD=8－2t，NH=1＋2t． 根據中心對稱的性質OA=OD，OM=ON，所以四邊形MDNA是平行四邊形．所以． 所以，四邊形MDNA的面積． 因為運動至點A與點D重合為止，據題意可知0≤t＜4． 所以，所求關系式是，t的取值范圍是0≤t＜4． (3)，(0≤t＜4)． 所以時，S有最大值． (4)在運動過程中四邊形MDNA能形成矩形． 由(2)知四邊形MDNA是平行四邊形，對角線是AD、MN，所以當AD=MN，時四邊形MDNA是矩形． 所以OD=ON．所以． 所以．解之得，(舍)． 所以在運動過程中四邊形MDNA可以形成矩形，此時．

提示：

也可用頂點坐標公式來求．