Question

如圖，拋物線C：y=ax²+bx+3與x軸的兩個交點坐標為A（-3，0），B（-1，0）．
（Ⅰ）求拋物線C的解析式；
（Ⅱ）設拋物線C的頂點為M，直線y=-2x+9與y軸交于點E，交直線OM于點F．現保持拋物線C的形狀和開口方向，使頂點沿直線OM移動（O為坐標原點）．在平移過程中，當拋物線與射線EF（含端點E、F）只有一個公共點時，求它的頂點橫坐標的值或取值范圍；
（Ⅲ）將拋物線平移，當頂點至原點時，過Q（0，3）作不平行于x軸的直線交拋物線于M，N兩點．問在y軸的負半軸上是否存在點P，使△PMN的內心在y軸上？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）將A（-3，0）、B（-1，0），代入y=ax²+bx+3求出即可，再利用平方法求出頂點坐標即可；
（Ⅱ）配方后即可確定其頂點坐標，然后利用平移規律確定函數的解析式，然后根據射線與拋物線有唯一的公共點求得h的值或取值范圍即可；
（Ⅲ）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，設MN的解析式為y=kx+3（k≠0）．假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過M，N作GH的垂線，垂足為G，H．根據△PMN的內心在y軸上，得到∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，從而△GMP∽△HNP，利用相似三角形對應邊成比例即可列出有關t的方程求解即可．
解答：解：（Ⅰ）拋物線y=ax²+bx+3經過A（-3，0），B（-1，0）兩點
∴9a-3b+3=0且a-b+3=0
解得a=1，b=4
∴拋物線的解析式為y=x²+4x+3

（Ⅱ）由（Ⅰ）配方得y=（x+2）²-1
∴拋物線的頂點M（-2，-1）
∴直線OM的解析式為y=x
于是設平移的拋物線的頂點坐標為（h，h），
∴平移的拋物線解析式為y=（x-h）²+h，．

①當拋物線經過點E時，
∵E（0，9），
∴h²+h=9，
解得．
∴當 時，
平移的拋物線與射線EF只有一個公共點．

②當拋物線與射線EF只有一個公共點時，
由方程組y=（x-h）²+h，y=-2x+9．
得 x²+（-2h+2）x+h²+h-9=0，
∴△=（-2h+2）²-4（h²+h-9）=0，
解得h=4．
此時拋物線y=（x-4）²+2與射線EF唯一的公共點為（3，3），符合題意．
綜上：平移的拋物線與射線EF只有一個公共點時，
頂點橫坐標的值或取值范圍是 h=4或 ．
 
（Ⅲ）將拋物線平移，當頂點至原點時，其解析式為y=x²，
設MN的解析式為y=kx+3（k≠0）．
假設存在滿足題設條件的點P（0，t），過P作GH∥x軸，分別過M，N作GH的垂線，垂足為G，H．
∵△PMN的內心在y軸上，
∴∠GMP=∠MPQ=∠QPN=∠HNP，
∴△GMP∽△HNP，
∴=，
∴==
∴2kx_E•x_F=（t-3）（x_E+x_F）
由y=x²，y=kx+3．得x²-kx-3=0．
∴x_E+x_F=k，x_E•x_F=-3．
∴2k（-3）=（t-3）k，
∵k≠0，
∴t=-3．
∴y軸的負半軸上存在點P（0，-3），使△PMN的內心在y軸上．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及相似三角形的應用，二次函數的綜合應用是初中階段的重點題型特別注意利用數形結合是這部分考查的重點也是難點同學們應重點掌握．