Question

P是凸四邊形內的一點，P與四個頂點連接得到的四條線段的長分別為1，2，3，4．那么，這個四邊形的面積的最大值為

1. A.
   10.5
2. B.
   12
3. C.
   12.5
4. D.
   15

Answer 1

C
分析：首先討論當兩邊a、b一定時，要是三角形的面積最大，必須兩邊的夾角最大，即是直角時，由此得到AC⊥BD，分別求出所有的情況，找出最大值即可．
解答：解：圖（1）中，設△EFG的邊FG=a、EG=b，過E作EH⊥FG于H，
sinG=，
∴EH=bsinG，
S_△EFG=•FG•EH=absinG，
要是△EFG的面積最大，當a、b一定時，sinG最大，
即sinG=1，即∠G=90°．
同理：連接PA、PB、PC、PD，
∵S_{四邊形ABCD}=S_△PAB+S_△PBC+S_△PCD+S_△PAD，
要是四邊形ABCD的面積最大，必須△PAB、△PBC、△PCD、△PAD的面積最大，
由上面證明可知當兩邊一定時，兩邊的夾角是直角時面積最大，
即AC⊥BD時面積最大，
有下面三種情況：
（1）當BD=1+2=3，AC=3+4=7時，S=×3×7=10.5；
（2）當BD=1+4=5，AC=2+3=5時，S=×5×5=12.5；
（3）當BD=1+3=4，AC=2+4=6時，S=×4×6=12；
∴四邊形ABCD的面積的最大值是12.5．
故選C．
點評：本題主要考查了面積及等積變換，三角形的面積公式，解此題的關鍵是得出當兩邊一定時，兩邊的夾角是90°時，三角形的面積最大的結論．