Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交點(diǎn)，拋物線過(guò)兩點(diǎn)，與軸交于另一點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式及點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）在直線上方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使與的交點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)？如果存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不存在，說(shuō)明理由．

（3）若點(diǎn)在拋物線上且橫坐標(biāo)為，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，在拋物線上存在一點(diǎn)，使以為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（1，0） （2）不存在；答案見(jiàn)解析 （3）或或

【解析】

（1）先根據(jù)直線求出點(diǎn)A、C的坐標(biāo)，再將點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入拋物線，解方程組求得b、c的值即可得拋物線解析式，令

解方程即可點(diǎn)B的坐標(biāo)；

（2）先假設(shè)點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)，再過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)易知，且，繼而可求得點(diǎn)F的坐標(biāo)，由EH＝2FG，，判定方程有無(wú)實(shí)數(shù)根即可判斷是否存在點(diǎn)E，使與的交點(diǎn)恰好為的中點(diǎn)；

（3）先求得點(diǎn)E的坐標(biāo)和點(diǎn)N的橫坐標(biāo)，再分EB為平行四邊形的邊和EB為平行四邊形的對(duì)角線兩種情況，其中EB為平行四邊形的邊時(shí)，再分點(diǎn)M在對(duì)稱軸右側(cè)和左側(cè)兩種情況分別求解可得．

解:（1）在中，當(dāng)時(shí)

當(dāng)時(shí)

拋物線的圖象經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，

，

解得，

拋物線的解析式為；

令

解得

；

（2）不存在點(diǎn)使點(diǎn)為的中點(diǎn)，

理由是:如果點(diǎn)存在，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為

如圖，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)

則

，

，

點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

，

∵EH＝2FG，

，

方程無(wú)實(shí)數(shù)根，

滿足條件的點(diǎn)不存在；

（3）或或

點(diǎn)在對(duì)稱軸上，

，

將代入

得: ，

，

①當(dāng)為平行四邊形的邊時(shí)，分兩種情況：

點(diǎn)在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí)，為對(duì)角線，

，

當(dāng)時(shí)，

；

點(diǎn)在對(duì)稱軸左側(cè)時(shí)，為對(duì)角線，

，

當(dāng)時(shí)，

，

②當(dāng)為平行四邊形的對(duì)角線時(shí)，

，

當(dāng)時(shí)，

；

綜上所述，的坐標(biāo)為或或．