Question

如圖，AB是⊙O的直徑，動弦CD垂直AB于點E，過點B作直線BF∥CD交AD的延長線于點F，若AB=10cm．
（1）求證：BF是⊙O的切線．
（2）若AD=8cm，求BE的長．
（3）若四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD為何種四邊形？并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明BF是⊙O的切線，只需證明AB⊥BF即可；
（2）連接BD，在直角三角形ABD中，利用射影定理可以求得AE的長度，最后結合圖形知BE=AB-AE；
（3）連接BC．四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形．根據平行四邊形的對邊平行、平行線的性質、圓周角定理以及同弧所對的圓周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直徑，然后由全等三角形的判定與性質推知AC=BD；根據正方形的判定定理證得四邊形ACBD是正方形．
解答：解：（1）∵AB是⊙O的直徑，CD⊥AB，BF∥CD，
∴BF⊥AB，
∵點B在圓上，
∴BF是⊙O的切線；

（2）如圖1，連接BD．
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°（直徑所對的圓周角是直角）；
又∵DE⊥AB
∴AD²=AE•AB；
∵AD=8cm，AB=10cm，
AE=6.4cm，
∴BE=AB-AE=3.6cm；

（3）連接BC．
四邊形CBFD為平行四邊形，則四邊形ACBD是正方形．理由如下：
∵四邊形CBFD為平行四邊形，
∴BC∥FD，即BC∥AD；
∴∠BCD=∠ADC（兩直線平行，內錯角相等），
∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所對的圓周角相等），
∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA；
又∵∠BDA=90°（直徑所對的圓周角是直角），
∴∠CAD=∠BDA=90°，
∴CD是⊙O的直徑，即點E與點O重合（或線段CD過圓心O），如圖2，
在△OBC和△ODA中，
∵，
∴△OBC≌△ODA（SAS），
∴BC=DA（全等三角形的對應邊相等），
∴四邊形ACBD是平行四邊形（對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）；
∵∠ACB=90°（直徑所對的圓周角是直角），AC=AD，
∴四邊形ACBD是正方形．
點評：本題綜合考查了切線的判定、全等三角形的判定與性質、圓周角定理、垂徑定理等知識點．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．